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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 928: Funktionen und Gleichungen komplexer Zahlen

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Es sei $ z=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\,\mathrm{i}\in\mathbb{C}$ gegeben.

a)
Berechnen Sie $ z^2, z^3, z^6$.

$ z^2$ = $ + \sqrt{3}$ $ \mathrm{i}$,
$ z^3$ = $ +$ $ \mathrm{i}$,
$ z^6$ = $ +$ $ \mathrm{i}$.

b)
Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen für die Gleichung $ x^3-1=0$ (es gibt hier drei Lösungen) sowie für $ x^4-1=0$ (es gibt hier vier Lösungen).

Ordnen sie die Ergebnisse nach folgenden Kriterien an:

  1. Beginnen Sie mit der Zahl, welche den kleinsten Betrag hat
  2. Sind die Beträge gleich, dann beginnen Sie mit der Zahl welche den kleineren Realteil aufweist.
  3. Ist auch der Realteil gleich, beginnen Sie mit der Zahl welche den kleineren Imaginärteil aufweist.

Die Ergebnisse für $ x^3-1=0$.

$ x_1$ = $ + \sqrt{3}$ $ \mathrm{i}$,
$ x_2$ = $ + \sqrt{3}$ $ \mathrm{i}$,
$ x_3$ = $ +$ $ \mathrm{i}$.

Die Ergebnisse für $ x^4-1=0$ sind:

$ x_1$ = $ +$ $ \mathrm{i}$,
$ x_2$ = $ +$ $ \mathrm{i}$,
$ x_3$ = $ +$ $ \mathrm{i}$.
$ x_4$ = $ +$ $ \mathrm{i}$.


   
(Aus: HM I Stroppel WS 2005/06)

Lösung:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017