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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 955: Basen und Basenwechsel in Vektorräumen

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Seien $ \boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3$ und $ \boldsymbol{e}_4$ die Vektoren der Standardbasis des $ \mathbb{R}^4$.
  1. Beweisen Sie, dass auch $ B= \left\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3,\boldsymbol{v}_4\right\}$ mit

    $\displaystyle \boldsymbol{v}_1= \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\,, ... ... \end{pmatrix}\,, \boldsymbol{v}_4= \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}$

    eine Basis des $ \mathbb{R}^4$ ist.
  2. Bestimmen Sie die Matrizen der Abbildungen $ f,g:\mathbb{R}^4\to \mathbb{R}^4$ mit $ f(\boldsymbol{e}_i)= \boldsymbol{v}_i$ und $ g(\boldsymbol{v}_i)= \boldsymbol{e}_i$.
  3. Bestimmen Sie die Matrix der Abbildung $ h:\mathbb{R}^4\to \mathbb{R}^4$ mit $ h\big((x_1,x_2,x_3,x_4)\big) = (x_2+x_3,x_2,0,0)$ bezüglich der Standardbasis und die Matrix von $ h$ bezüglich $ B$. Berechnen Sie den Rang der beiden Matrizen.

Lösung:

zu 2.
Matrix für f: % latex2html id marker 2293 $ \left( \vphantom{\begin{tabular}{c} \stepcounter... ...}\begin{rawhtml} '' type=''text''>\end{rawhtml}}\\ \end{tabular} } \right. $
% latex2html id marker 2327 $ \left. \vphantom{\begin{tabular}{c} \stepcounter... ...}\begin{rawhtml} '' type=''text''>\end{rawhtml}}\\ \end{tabular} } \right) $
Matrix für g: % latex2html id marker 2329 $ \left( \vphantom{\begin{tabular}{c} \stepcounter... ...}\begin{rawhtml} '' type=''text''>\end{rawhtml}}\\ \end{tabular} } \right. $
% latex2html id marker 2363 $ \left. \vphantom{\begin{tabular}{c} \stepcounter... ...}\begin{rawhtml} '' type=''text''>\end{rawhtml}}\\ \end{tabular} } \right) $

zu 3.
Matrix für h bezüglich der Standardbasis: % latex2html id marker 2373 $ \left( \vphantom{\begin{tabular}{c} \stepcounter... ...}\begin{rawhtml} '' type=''text''>\end{rawhtml}}\\ \end{tabular} } \right. $
% latex2html id marker 2407 $ \left. \vphantom{\begin{tabular}{c} \stepcounter... ...}\begin{rawhtml} '' type=''text''>\end{rawhtml}}\\ \end{tabular} } \right) $ Rang:
Matrix für h bezüglich der Basis $ B$: % latex2html id marker 2412 $ \left( \vphantom{\begin{tabular}{c} \stepcounter... ...}\begin{rawhtml} '' type=''text''>\end{rawhtml}}\\ \end{tabular} } \right. $
% latex2html id marker 2446 $ \left. \vphantom{\begin{tabular}{c} \stepcounter... ...}\begin{rawhtml} '' type=''text''>\end{rawhtml}}\\ \end{tabular} } \right) $ Rang:


   
(Aus: Mathematik 1 für Informatik und Softwaretechnik WS05/06; Teufel/Röhrl)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017