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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 956: Projektion von Geraden in Vektorräumen

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Sei $ f:\mathbb{R}^3\longrightarrow\mathbb{R}^2$ die Abbildung, die jedem $ x\in \mathbb{R}^3$ den Schnittpunkt der Geraden $ x+\lambda(1,1,1)$ mit der $ x_1$-$ x_2$-Ebene ($ x_3=0$) zuordnet. Diese Abbildung wird als Parallelprojektion in Richtung $ (1,1,1)$ auf die $ x_1$-$ x_2$-Ebene bezeichnet.
  1. Bestimmen Sie die Matrix und den Kern der Abbildung $ f$.
  2. Bestimmen Sie das Bild einer beliebigen Geraden $ r=x+\lambda v$ unter $ f$. Sind die Bilder wieder Geraden?
  3. Bestimmen Sie die Bilder der Geraden

    $\displaystyle \begin{pmatrix} 3\\ 2\\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 2\\ -2\\ 2 \end{pmatrix}$ und $\displaystyle \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 4\\ 4\\ 4 \end{pmatrix}$

  4. Bestimmen Sie das Urbild jedes Punktes $ z$ der $ x_1$-$ x_2$-Ebene.

Lösung:

zu 1:
Matrix zur Abbildung $ f$: % latex2html id marker 709 $ \left( \vphantom{\begin{tabular}{ccc} \stepcounte... ...}\begin{rawhtml} '' type=''text''>\end{rawhtml}}\\ \end{tabular} } \right. $
% latex2html id marker 723 $ \left. \vphantom{\begin{tabular}{ccc} \stepcounte... ...}\begin{rawhtml} '' type=''text''>\end{rawhtml}}\\ \end{tabular} } \right) $

zu 2:
Sind die Bilder von Geraden wieder Geraden:
keine Angabe , ja , nein , kann man nicht allgemein sagen


   
(Aus: Mathematik 1 für Informatik und Softwaretechnik WS05/06; Teufel/Röhrl)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017