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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 970: Abbildungen auf dem Vektorraum der Polynome eines maximalen Grades

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Gegeben sei der Vektorraum der reellen Polynome vom Grad kleiner gleich $ n$

$\displaystyle \mathcal{P}_n= \{ f_a:I \! \! R \longrightarrow I \! \! R \vert f_a(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i\,, a=(a_0,\dots,a_n) \in {I \! \! R}^{n+1}\}\,. $

Eine Basis dieses Vektorraums ist $ {\mathcal B}=\{1,\,x,\,\ldots,x^n\}$.

  1. Sei $ a\in I \! \! R$ fest. Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix $ M_{T_a}^{\mathcal B,B}$ der Verschiebung

    $\displaystyle T_a:{\mathcal{P}}_n\rightarrow{\mathcal{P}}_n\,:\, p\mapsto \big(x\mapsto p(x-a)\big).$

  2. Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix $ M_{D}^{\mathcal B,B}$ der Differenziation

    $\displaystyle D: {\mathcal{P}}_n\rightarrow{\mathcal{P}}_n\,:\, p\mapsto p'.$

  3. Überprüfen Sie den Dimensionssatz für $ T_a$ und für $ D$.
Lösung:
zu 1.
Abbildungsmatrix für $ n=4$ und $ a=2$:

% latex2html id marker 1697 $ \left(\vphantom{\begin{tabular}{c}\stepcounter{mo... ...rawhtml}{6}\begin{rawhtml} '' type=''text''>\end{rawhtml}}\end{tabular}}\right.$
% latex2html id marker 1749 $ \left.\vphantom{\begin{tabular}{c}\stepcounter{mo... ...rawhtml}}\\ moFeldEingabe\\ moFeldEingabe\\ moFeldEingabe \end{tabular}}\right)$

zu 2.
Abbildungsmatrix für $ n=4$:
% latex2html id marker 1756 $ \left(\vphantom{\begin{tabular}{c}\stepcounter{mo... ...rawhtml}{6}\begin{rawhtml} '' type=''text''>\end{rawhtml}}\end{tabular}}\right.$
% latex2html id marker 1808 $ \left.\vphantom{\begin{tabular}{c}\stepcounter{mo... ...rawhtml}}\\ moFeldEingabe\\ moFeldEingabe\\ moFeldEingabe \end{tabular}}\right)$

zu 3.
Sei $ n=73$
$ T_a$ : Dimension des Kerns: , Dimension des Bildes
$ D$ : Dimension des Kerns: , Dimension des Bildes


   

(Aus: Mathematik 1 für Informatik und Softwaretechnik WS05/06; Teufel/Röhrl)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017