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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 983: Diagonalisierung einer Matrix

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Diagonalisieren Sie folgende Matrizen.

$\displaystyle A= \begin{pmatrix} 2&3&3\\ 1&4&3\\ 3&6&11 \end{pmatrix}\,,\qquad B= \begin{pmatrix} 3&-2&1\\ 2&1&0\\ 2&-1&2 \end{pmatrix}$

Bestimmen Sie jeweils eine Diagonalmatrix $ D$ und mit Hilfe einer Basis aus Eigenvektoren eine invertierbare Matrix $ S$, die den Basiswechsel beschreibt, mit $ D=S^{-1}AS$ bzw.  $ D=S^{-1}BS$.

Lösung:
Die Eigenwerte von $ A $ sind (sortiert nach aufsteigendem Realteil)
$ \lambda_1= $ , $ \lambda_2=$ , $ \lambda_3=$
Die zugehörigen Eigenvektoren sind
% latex2html id marker 1683 $ \vec{v_1}= \left(\vphantom{\begin{tabular}{c}\ste... ...awhtml}{6}\begin{rawhtml} '' type=''text''>\end{rawhtml}}\end{tabular}}\right. $
$ 1$
% latex2html id marker 1692 $ \left.\vphantom{\begin{tabular}{c}\stepcounter{mo... ...awhtml}{6}\begin{rawhtml} '' type=''text''>\end{rawhtml}}\end{tabular}}\right) $ ,
% latex2html id marker 1698 $ \vec{v_2}= \left(\vphantom{\begin{tabular}{c}\ste... ...awhtml}{6}\begin{rawhtml} '' type=''text''>\end{rawhtml}}\end{tabular}}\right. $
$ 1$
% latex2html id marker 1707 $ \left.\vphantom{\begin{tabular}{c}\stepcounter{mo... ...awhtml}{6}\begin{rawhtml} '' type=''text''>\end{rawhtml}}\end{tabular}}\right) $ ,
% latex2html id marker 1713 $ \vec{v_3}= \left(\vphantom{\begin{tabular}{c}\ste... ...awhtml}{6}\begin{rawhtml} '' type=''text''>\end{rawhtml}}\end{tabular}}\right. $
$ 1$
% latex2html id marker 1722 $ \left.\vphantom{\begin{tabular}{c}\stepcounter{mo... ...awhtml}{6}\begin{rawhtml} '' type=''text''>\end{rawhtml}}\end{tabular}}\right) $

Die Eigenwerte von $ B$ sind (sortiert nach aufsteigendem Realteil, gefolgt von aufsteigendem Imaginärteil)
$ \lambda_1= $ $ +$ $ i$, $ \lambda_2=$ $ +$ $ i$, $ \lambda_3=$ $ +$ $ i$

Die zugehörigen Eigenvektoren sind
% latex2html id marker 1762 $ \vec{v_1}= \left(\vphantom{\begin{tabular}{c}\ste... ...awhtml}{6}\begin{rawhtml} '' type=''text''>\end{rawhtml}}\end{tabular}}\right. $
+ $ i$
$ 1$
+ $ i$
% latex2html id marker 1777 $ \left.\vphantom{\begin{tabular}{c}\stepcounter{mo... ...awhtml}{6}\begin{rawhtml} '' type=''text''>\end{rawhtml}}\end{tabular}}\right) $ ,
% latex2html id marker 1783 $ \vec{v_2}= \left(\vphantom{\begin{tabular}{c}\ste... ...awhtml}{6}\begin{rawhtml} '' type=''text''>\end{rawhtml}}\end{tabular}}\right. $
+ $ i$
$ 1$
+ $ i$
% latex2html id marker 1798 $ \left.\vphantom{\begin{tabular}{c}\stepcounter{mo... ...awhtml}{6}\begin{rawhtml} '' type=''text''>\end{rawhtml}}\end{tabular}}\right) $ ,
% latex2html id marker 1804 $ \vec{v_3}= \left(\vphantom{\begin{tabular}{c}\ste... ...awhtml}{6}\begin{rawhtml} '' type=''text''>\end{rawhtml}}\end{tabular}}\right. $
+ $ i$
$ 1$
+ $ i$
% latex2html id marker 1819 $ \left.\vphantom{\begin{tabular}{c}\stepcounter{mo... ...awhtml}{6}\begin{rawhtml} '' type=''text''>\end{rawhtml}}\end{tabular}}\right) $


   

(Aus: Mathematik 1 für Informatik und Softwaretechnik WS05/06; Teufel/Röhrl)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017