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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 983: Diagonalisierung einer Matrix


A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Diagonalisieren Sie folgende Matrizen.

$\displaystyle A=
\begin{pmatrix}
2&3&3\\
1&4&3\\
3&6&11
\end{pmatrix}\,,\qquad
B=
\begin{pmatrix}
3&-2&1\\
2&1&0\\
2&-1&2
\end{pmatrix}$

Bestimmen Sie jeweils eine Diagonalmatrix $ D$ und mit Hilfe einer Basis aus Eigenvektoren eine invertierbare Matrix $ S$, die den Basiswechsel beschreibt, mit $ D=S^{-1}AS$ bzw.  $ D=S^{-1}BS$.

Lösung:
Die Eigenwerte von $ A $ sind (sortiert nach aufsteigendem Realteil)
$ \lambda_1= $ , $ \lambda_2=$ , $ \lambda_3=$
Die zugehörigen Eigenvektoren sind
% latex2html id marker 1683
$ \vec{v_1}=
\left(\vphantom{\begin{tabular}{c}\ste...
...awhtml}{6}\begin{rawhtml}
'' type=''text''>\end{rawhtml}}\end{tabular}}\right.
$
$ 1$
% latex2html id marker 1692
$ \left.\vphantom{\begin{tabular}{c}\stepcounter{mo...
...awhtml}{6}\begin{rawhtml}
'' type=''text''>\end{rawhtml}}\end{tabular}}\right)
$ ,
% latex2html id marker 1698
$ \vec{v_2}=
\left(\vphantom{\begin{tabular}{c}\ste...
...awhtml}{6}\begin{rawhtml}
'' type=''text''>\end{rawhtml}}\end{tabular}}\right.
$
$ 1$
% latex2html id marker 1707
$ \left.\vphantom{\begin{tabular}{c}\stepcounter{mo...
...awhtml}{6}\begin{rawhtml}
'' type=''text''>\end{rawhtml}}\end{tabular}}\right)
$ ,
% latex2html id marker 1713
$ \vec{v_3}=
\left(\vphantom{\begin{tabular}{c}\ste...
...awhtml}{6}\begin{rawhtml}
'' type=''text''>\end{rawhtml}}\end{tabular}}\right.
$
$ 1$
% latex2html id marker 1722
$ \left.\vphantom{\begin{tabular}{c}\stepcounter{mo...
...awhtml}{6}\begin{rawhtml}
'' type=''text''>\end{rawhtml}}\end{tabular}}\right)
$

Die Eigenwerte von $ B$ sind (sortiert nach aufsteigendem Realteil, gefolgt von aufsteigendem Imaginärteil)
$ \lambda_1= $ $ +$ $ i$, $ \lambda_2=$ $ +$ $ i$, $ \lambda_3=$ $ +$ $ i$

Die zugehörigen Eigenvektoren sind
% latex2html id marker 1762
$ \vec{v_1}=
\left(\vphantom{\begin{tabular}{c}\ste...
...awhtml}{6}\begin{rawhtml}
'' type=''text''>\end{rawhtml}}\end{tabular}}\right.
$
+ $ i$
$ 1$
+ $ i$
% latex2html id marker 1777
$ \left.\vphantom{\begin{tabular}{c}\stepcounter{mo...
...awhtml}{6}\begin{rawhtml}
'' type=''text''>\end{rawhtml}}\end{tabular}}\right)
$ ,
% latex2html id marker 1783
$ \vec{v_2}=
\left(\vphantom{\begin{tabular}{c}\ste...
...awhtml}{6}\begin{rawhtml}
'' type=''text''>\end{rawhtml}}\end{tabular}}\right.
$
+ $ i$
$ 1$
+ $ i$
% latex2html id marker 1798
$ \left.\vphantom{\begin{tabular}{c}\stepcounter{mo...
...awhtml}{6}\begin{rawhtml}
'' type=''text''>\end{rawhtml}}\end{tabular}}\right)
$ ,
% latex2html id marker 1804
$ \vec{v_3}=
\left(\vphantom{\begin{tabular}{c}\ste...
...awhtml}{6}\begin{rawhtml}
'' type=''text''>\end{rawhtml}}\end{tabular}}\right.
$
+ $ i$
$ 1$
+ $ i$
% latex2html id marker 1819
$ \left.\vphantom{\begin{tabular}{c}\stepcounter{mo...
...awhtml}{6}\begin{rawhtml}
'' type=''text''>\end{rawhtml}}\end{tabular}}\right)
$


   

(Aus: Mathematik 1 für Informatik und Softwaretechnik WS05/06; Teufel/Röhrl)

[Verweise]

  automatisch erstellt am 10.  8. 2017