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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 989: Konvergenzradien und Bereiche absoluter Konvergenz von Potenzreihen

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Bestimmen Sie von folgenden Potenzreihen den Konvergenzradius, die Menge $ A$ aller $ x\in\mathbb{R}$ für welche die Reihe absolut konvergiert und die Menge $ K$ aller $ x\in\mathbb{R}$ für welche die Reihe konvergiert.
  1. $ {\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty\,\frac{(-3)^n}{n + \sqrt{n}} \,x^n}}\,, \quad\,$
  2. $ {\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty\,(-1)^n \left ( \frac{2}{3} \right )^n \,x^n}}\,, \quad\,$
  3. $ {\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty\,\frac{1}{n^2 \cdot 4^n} \,x^n}}\,, \quad\,$

Lösung:
(Angaben auf 3 Dezimalen genau; $ -1$ steht für $ \infty$)

zu 1. Konvergenzradius:
  Am linken Randpunkt:
  keine Angabe ,
  absolut konvergent ,
  konvergent, aber nicht absolut konvergent ,
  divergent .
  Am rechten Randpunkt:
  keine Angabe ,
  absolut konvergent ,
  konvergent, aber nicht absolut konvergent ,
  divergent .
zu 2. Konvergenzradius:
  Am linken Randpunkt:
  keine Angabe ,
  absolut konvergent ,
  konvergent, aber nicht absolut konvergent ,
  divergent .
  Am rechten Randpunkt:
  keine Angabe ,
  absolut konvergent ,
  konvergent, aber nicht absolut konvergent ,
  divergent .
zu 3. Konvergenzradius:
  Am linken Randpunkt:
  keine Angabe ,
  absolut konvergent ,
  konvergent, aber nicht absolut konvergent ,
  divergent .
  Am rechten Randpunkt:
  keine Angabe ,
  absolut konvergent ,
  konvergent, aber nicht absolut konvergent ,
  divergent .


   

(Aus: Mathematik 1 für Informatik und Softwaretechnik WS05/06; Teufel/Röhrl)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017