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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 998: Elementarteiler

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Die Zeilen der Matrix

\begin{displaymath} A= \left( \begin{array}{rrrr} 3 & 3& -6&3\\ 0&4&-3&2\\ 3&7&-9&5\\ -3&3&-6&3 \end{array}\right) \end{displaymath}

spannen eine Untergruppe $ L$ von $ \mathbb{Z}^4$ auf.
a)
Bestimmen Sie die Elementarteiler von $ \mathbb{Z}^4/L$ . Tragen Sie diese positiv in aufsteigender Größe ein.

b)
Schreiben Sie Tor$ (\mathbb{Z}^4/L)$ als ein direktes Produkt von nicht-trivialen Gruppen von Primzahlpotenzordnung (in aufsteigender Größe).
$ \mathbb{Z}$ / $ \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ / $ \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ / $ \mathbb{Z}$
c)
Welches ist die größte Ordnung die ein Torsionselement in $ \mathbb{Z}^4/L$ hat?
d)
Was ist die minimale Erzeugendenanzahl von $ \mathbb{Z}^4/L .$
e)
Was ist die minimale Erzeugendenanzahl einer $ 2$ - Sylowgruppe von Tor$ (\mathbb{Z}^4/L)$ .
f)
Was ist die minimale Erzeugendenanzahl einer $ 3$ - Sylowgruppe von Tor$ (\mathbb{Z}^4/L)$ .


   

(Aus: Algebra Kimmerle, WS 05/06)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017