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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Interaktive Aufgabe 350:

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

a)
Das Taylorpolynom von $ f(x) = xe^{2x}$ um den Entwicklungspunkt $ x_0 = 0$ ist zu bestimmen. Unter Verwendung der Taylorenwicklung von $ e^{2x}$ und Berücksichtigung der Glieder bis zur dritten Ordnung folgt:

$\displaystyle f(x) = x\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2x)^n}{n!} \Rightarrow T_3(f,x,0) = x(1 + \frac{2x}{1!} + \frac{(2x)^2}{2!}) = x + 2x^2 + 2x^3 $

b)
$ T_2(g,x,x_0)$ wobei $ g(x) = \sin{(x^2)}$ und $ x_0 = \sqrt{\pi}$ ist zu ermitteln. Mit $ g{'}(x) = 2x\cos(x^2)$, $ g{''}(x)= 2\cos{(x^2)}-2x.2x\sin{(x^2)} = -4x^2\sin{(x^2)}+2\cos{(x^2)}$ folgt:

$\displaystyle T_2(g,x,x_0) = g(x_0) + g{'}(x_0)(x-x_0) + \frac{g{''}(x_0)}{2}(x-x_0)^2 = -2\sqrt{\pi}(x-\sqrt{\pi}) - (x-\sqrt{\pi})^2 $

[Aufgabe]
  automatisch erstellt am 10.  7. 2008