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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Interaktive Aufgabe 358:

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

a)
Die Funktion $ \cos{x}$ ist auf dem Intervall $ (0,\frac{\pi}{2})$ streng monoton fallend: Für den Wertebereich W gilt also:

$\displaystyle W=(\sqrt{\cos{(\pi/2)}},\sqrt{\cos{0}})=(0,1) $

b)
Das Auflösen der Gleichung $ y=g(x)$ nach x ergibt:

$\displaystyle y^2 = \cos{x}\Rightarrow x=\arccos{(y^2)}\Rightarrow g^{-1}:(0,1)\rightarrow (0,\frac{\pi}{2}):y\mapsto \arccos{(y^2)} $

c)
Die Formel zur Berechnung der Ableitung von $ f^{-1}$ mit Hilfe der Ableitung von $ f$ lautet:

$\displaystyle (f^{-1}){'}(y) = \frac{1}{f{'}(f^{-1}(y))} $

d)
Die Verwendung der Kettenregel und der Ableitung von $ \arccos{y}$ ergibt:

$\displaystyle (g^{-1}){'}(y) = 2y\frac{-1}{\sqrt{1-(y^2)^2}}=-\frac{2y}{\sqrt{1-y^4}} $

[Aufgabe]
  automatisch erstellt am 10.  7. 2008