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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Interaktive Aufgabe 362:

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

a)
Um den Definitionsbereich zu bestimmen werden die Nullstellen des Nenners benötigt.

$\displaystyle x^2-3x+2=0\Rightarrow x_{1,2}=\frac{3\pm \sqrt{(-3)^2-8}}{2} \Rightarrow x_1=1\ und\ x_2=2 \Rightarrow D=\mathbb{R}\backslash \{1,2\} $

b)
Die Nullstellen von $ f$ sind die Nullstellen des Zählers aber nicht des Nenners.

$\displaystyle x^3+x^2-2x=x(x^2+x-2)=0\Rightarrow x_1=0; x_{2,3}=\frac{-1\pm \sqrt{1+8}}{2}\Rightarrow x_2=-2; x_3=1(keine) $

c)
Um die beiden ersten Ableitungen zu bestimmen wird $ f$ mit Hilfe einer Faktorisierung vereinfacht in der Form $ f(x)=\frac{1}{4}\frac{x(x+2)(x-1)}{(x-2)(x-1)}=\frac{1}{4}\frac{x^2+2x}{x-2}$ dargestellt.

$\displaystyle f{'}(x) = \frac{1}{4}\frac{(2x+2)(x-2)-1(x^2+2x)}{(x-2)^2}=\frac{1}{4}\frac{x^2-4x-4}{(x-2)^2} $

$\displaystyle f{''}(x) = \frac{1}{4}\frac{(2x-4)(x-2)^2-2(x-2)(x^2-4x-4)}{(x-2)^4} = \frac{4}{(x-2)^3} $

d)
Um die Hoch- und Tiefpunkte zu ermitteln werden die Nullstellen von $ f{'}(x)$ und eventuell $ f{''}(x)$ benötigt. Es gilt:

$\displaystyle f{'}(x) = 0 \Rightarrow x^2-4x-4 = 0 \Rightarrow x_1 = 2\sqrt{2}+2; x_2 = 2-2\sqrt{2} $

Wegen $ f{''}(x_1) > 0$ und $ f(x_1) = \sqrt{2}+3/2$ ist $ (2\sqrt{2}+2, \sqrt{2}+3/2)$ ein Tiefpunkt

$ (2-2\sqrt{2}, 3/2 - \sqrt{2})$ ist ein Hochpunkt wegen $ f{''}(x_2) < 0$ und $ f(x_2) = 3/2 - \sqrt{2}$

e)
Wegen $ \lim_{x\rightarrow 2\pm} = \mp \infty$ ist die Gerade $ x=2$ eine senkrechte Asymptote. $ f$ ist in $ x=1$ stetig ergänzbar wegen $ \lim_{x\rightarrow 1} = -7/4$
f)
Skizze:

\includegraphics[width=8cm]{koordinatengitter-l-1}

[Aufgabe]
  automatisch erstellt am 10.  7. 2008