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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Interaktive Aufgabe 262: HM I/II Vorbereitungskurs

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$\displaystyle f : D \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto \frac{x^2+x-1}{x^3+x}$

Um den maximalen Definitionsbereich zu erschließen, berechnet man die Nullstellen des Nenners, da die Funktion an diesen Stellen senkrechte Asymptoten besitzten kann und somit nicht definiert ist.
$ x^3+x = x(x^2+1)=0 \Leftrightarrow x=0$ (oder $ x=\pm \mathrm i$ über $ \mathbb{C}$).
In $ \mathbb{R}$ liegt für das Polynom $ x^3+x$ nur die Nullstelle $ x=0$ vor. Damit erhalten wir den maximalen Definitionsbereich

$\displaystyle D = \mathbb{R} \backslash \{0\}$

Insgesamt lässt sich das Polynom über $ \mathbb{R}$ in genau zwei Faktoren zerlegen. Da uns in einem Faktor nur komplexe Nullstellen $ \pm \mathrm i$ vorliegen, folgt nun folgender Ansatz:

$\displaystyle \frac{x^2+x-1}{x^3+x} = \frac{A}{x} + \frac{B+Cx}{x^2+1}$

Mit dem Polynom $ x^3+x$ durchmultipliziert ergibt dies:

$\displaystyle x^2+x-1 = A(x^2+1) + Bx + Cx^2$

Nennernullstellen einsetzen:

$\displaystyle x=0: -1 = A(0+1) + B0 + C0 \rightarrow A = -1$

$\displaystyle x=\mathrm i: \mathrm i^2+\mathrm i-1 = A(\mathrm i^2+1)+B\mathrm i+C\mathrm i^2 \rightarrow -1+\mathrm i-1 = B\mathrm i -C$

Koeffizientenvergleich liefert:

$\displaystyle -2+\mathrm i = -C +\mathrm iB \rightarrow B=1 ~~~ C=2$

$\displaystyle \int \frac{x^2+x-1}{x^3+x}\mathrm dx = \int -\frac{1}{x} + \frac{... ... \mathrm dx + \int \frac{1}{x^2+1}\mathrm dx + \int \frac{2x}{x^2+1}\mathrm dx $

$\displaystyle = -\ln\vert x\vert + \arctan(x) + \int \frac{2x}{x^2+1}\mathrm dx$

Um das letzte Integral zu berechnen wenden wir die Substitution $ u=x^2$ an.

$\displaystyle \frac{du}{dx}=2x \rightarrow dx = \frac{du}{2x}$

Somite bekommen wir das Integral

$\displaystyle \int \frac{2x}{(u+1)} \frac{du}{2x} = \int\frac{1}{u+1}\mathrm du = \ln\vert u+1\vert$

nach der Rücksubstitution erhält man letztendlich für das gesamte Integral:

$\displaystyle -\ln\vert x\vert + \arctan(x) + \ln\vert x^2+1\vert = \ln\left(\frac{x^2+1}{\vert x\vert}\right) + \arctan(x)$

Mit Hilfe der Logarithmusgesetzte ergibt sich:

$\displaystyle \ln(a) - \ln(b) = \ln\left(\frac{a}{b}\right)$

[Aufgabe]
  automatisch erstellt am 10.  7. 2008