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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Interaktive Aufgabe 270: HM I/II Vorbereitungskurs

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

a)
Um den Konvergenzradius zu berechnen, betrachte man

$\displaystyle L=\limsup\sqrt[k]{\vert a_k\vert} = \limsup\sqrt[k]{\vert-4^k\vert} = \limsup\sqrt[k]{4^k} = 4$

Der Konvergenzradius ergibt sich nun folgendermaßen: (Cauchy-Hadamard)

$\displaystyle \rho = \frac{1}{L} = \frac{1}{4}$

b)
Da für $ x \in \mathbb{R}$ mit $ \vert x\vert < \frac{1}{4}$ eine gleichmäßig konvergente Reihe integrierbarer Funktionen vorliegt, kann gliedweise integriert werden. Somit gilt:

$\displaystyle \int \sum\limits_{k=0}^\infty (-4)^kx^k \mathrm dx = \sum\limits_... ... (-4)^kx^k \mathrm dx = \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-4)^k}{k+1}x^{k+1} + c $

Nach einer Indexverschiebung erhält man letztendlich die Stammfunktion $ F$ von $ f$:

$\displaystyle \int \sum\limits_{k=0}^\infty (-4)^kx^k \mathrm dx = \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{(-4)^{k-1}}{k}x^{k} + c $

c)
Für alle $ x \in \mathbb{R}$ mit $ \vert x\vert < \frac{1}{4} = \rho$ kann die geometrische Reihe auf folgende geschlossene Form gebracht werden:

$\displaystyle \sum\limits_{k=0}^\infty (-4)^kx^k = \sum\limits_{k=0}^\infty (-4x)^k = \frac{1}{1-(-4x)} = \frac{1}{1+4x}$

d)
Die Stammfunktion der entstanden Funktion lautet:

$\displaystyle \int \frac{1}{1+4x} \mathrm dx = \frac{1}{4}\ln\vert 1+4x\vert +c$

[Aufgabe]
  automatisch erstellt am 10.  7. 2008