Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Interaktive Aufgabe 274: HM I/II Vorbereitungskurs

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Gegeben ist die Funktion

$\displaystyle f:\mathbb{R}\times(\mathbb{R}\backslash\{1\})\rightarrow\mathbb{R}: (x,y)\mapsto \frac{e^x}{y-1}$

$\displaystyle \operatorname{grad}f(x,y) = \left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)^\mathrm T $

Bestimme die partiellen Ableitungen von f:

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}= \frac{e^x}{y-1}~~~~~~ \frac{\partial f}{\partial y}=-\frac{e^x}{(y-1)^2}$

Somit ergibt sich:

$\displaystyle \operatorname{grad}f(x,y) = \left(\frac{e^x}{y-1},-\frac{e^x}{(y-1)^2}\right)^\mathrm T$

Die Hessematrix besteht aus den partiellen Ableitungen zweiter Ordnung:

$\displaystyle \begin{pmatrix} \frac{\partial^2f}{\partial x^2} & \frac{\partial... ...tial^2f}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^2f}{\partial y^2} \end{pmatrix}$

$\displaystyle \frac{\partial^2f}{\partial x^2} = \frac{e^x}{y-1}$

Da die Funktion $ f$ zweimal differenzierbar ist, spielt nach dem Satz von Schwarz die Reihenfolge der Differentiation keine Rolle. Somit gilt also:

$\displaystyle \frac{\partial^2f}{\partial x\partial y} = \frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}$

$\displaystyle \frac{\partial^2f}{\partial x\partial y} = \frac{\partial}{ \part... ...^x(y-1)^{-2} = - \frac{e^x}{(y-1)^2} = \frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}$

$\displaystyle \frac{\partial^2f}{\partial y^2}= \frac{\partial}{\partial y}\left(-e^x(y-1)^{-2}\right) = -(-2)e^x(y-1)^{-3} = 2\frac{e^x}{(y-1)^3}$

Damit lässt sich die Hessematrix angeben:

$\displaystyle Hf(x,y) = \begin{pmatrix} \frac{e^x}{y-1} & - \frac{e^x}{(y-1)^2}\\ - \frac{e^x}{(y-1)^2} & 2\frac{e^x}{(y-1)^3} \end{pmatrix}$

Der allgemeine Ansatz für das Taylorpolynom zweiter Stufe von $ f$ um den
Entwicklungspunkt $ (0,0)$ lautet:

$ T_2(f,(x,y),(0,0))$

$\displaystyle = f(0,0) + \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)(x-0) + \frac{\parti... ...partial y}(0,0)(y-0) + \frac{1}{2!}\frac{\partial^2f}{\partial x^2}(0,0)(x-0)^2$

$\displaystyle + 2\frac{1}{2!}\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}(0,0)(x-0)(y-0) + \frac{1}{2!}\frac{\partial^2f}{\partial y^2}(0,0)(y-0)^2$

$\displaystyle = -1 -x-y-\frac{1}{2}x^2-xy -\frac{1}{2}2y^2 = -1-x-y-\frac{1}{2}x^2-xy-y^2~~~~$

[Aufgabe]
  automatisch erstellt am 10.  7. 2008