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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Interaktive Aufgabe 306: HM I/II Vorbereitungskurs

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Die Eigenwerte von A $ = \begin{pmatrix} 3&-2\\ -\frac{3}{2} & 5\\ \end{pmatrix}$ werden durch Berechnen der Nullstellen des charakteristischen Polynoms $ \det (A-\lambda E) = 0$ bestimmt.
$ (3-\lambda)(5-\lambda)-\frac{3}{2}\cdot 2=15-8\lambda+\lambda^2-3=\lambda^2-8\lambda+12=0$.
Diese Gleichung besitzt die Nullstellen $ \lambda_1=2$ und $ \lambda_2=6$.
Um die Eigenvektoren zu berechnen, löst man das LGS $ (A-\lambda_iE)v_i=0$ für $ i=1,2$.

Das LGS $ (A-2E)v_1 = \begin{pmatrix}1&-2\\ -\frac{3}{2}&3\\ \end{pmatrix}v_1=0$ liefert $ v_1= \begin{pmatrix}2\\ 1 \end{pmatrix}$.
$ \vert v_1\vert=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$. Normiert ergibt dies letztendlich $ v_1=\frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix}2\\ 1 \end{pmatrix}$. Analoges gilt für $ \lambda_2=6$:

Aus $ \begin{pmatrix}-3&-2\\ -\frac{3}{2}&-1\\ \end{pmatrix}v_2=0$ folgt $ v_2=\begin{pmatrix}-2\\ 3\end{pmatrix}$ und normiert
$ \vert v_2\vert=\sqrt{(-2)^2+3^2}=\sqrt{13}$ erhält man den Vektor $ v_2=\frac{1}{\sqrt{13}}\begin{pmatrix}-2\\ 3\end{pmatrix}$
[Aufgabe]
  automatisch erstellt am 10.  7. 2008