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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Interaktive Aufgabe 334: HM I/II Vorbereitungskurs

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Die Matrix $ A=\begin{pmatrix}1&0&2\\ 0&1&0\\ 2&0&2\end{pmatrix}$ kann umgeformt werden zu $ \begin{pmatrix}1&0&2\\ 0&1&0\\ 0&0&-2\end{pmatrix}$.

Da sich der Rang bei elementaren Umformungen nicht verändert, gilt:

$\displaystyle r=\operatorname{Rang}\begin{pmatrix}1&0&2\\ 0&1&0\\ 2&0&2\end{pmatrix}=\operatorname{Rang}\begin{pmatrix}1&0&2\\ 0&1&0\\ 0&0&-2\end{pmatrix}=3$

Betrachte nun die erweiterte Matrix, die sich wie im Vorherigen bestimmen lässt:

$\displaystyle A_{\mathrm{erw}}=\begin{pmatrix}1&0&1&0\\ 0&1&0&2\\ 1&0&1&0\\ 0&2&0&2\end{pmatrix}$

Wie oben gilt nach elementaren Umformungen:

$\displaystyle r_{\mathrm{erw}}=\operatorname{Rang}\begin{pmatrix}1&0&1&0\\ 0&1&... ...rname{Rang}\begin{pmatrix}1&0&1&0\\ 0&1&0&2\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&-2\end{pmatrix}=3$

$ \rightarrow~ r$ stimmt mit $ r_{\mathrm{erw}}$ überein. Damit liegt eine kegelige Quadrik vor.
[Aufgabe]
  automatisch erstellt am 10.  7. 2008