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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1044: Vertauschung der Integrationsreihenfolge, Satz von Fubini

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Berechnen Sie den Wert von $ I$

$\displaystyle I= \int \limits_{x=1}^{2} \biggl[\int \limits_{y=\sqrt{x}}^{x} \s... ...\biggl[\int \limits_{y=\sqrt{x}}^{2} \sin \frac{\pi x}{2y} \, dy \biggr] \, dx $

durch Vertauschung der Integrationsreihenfolge.

Berechnen Sie den Wert von $ I$

$\displaystyle I= \int \limits_{x=1}^{2} \biggl[\int \limits_{y=\sqrt{x}}^{x} \s... ...\biggl[\int \limits_{y=\sqrt{x}}^{2} \sin \frac{\pi x}{2y} \, dy \biggr] \, dx $

durch Vertauschung der Integrationsreihenfolge.

Lösung:

\includegraphics{BildV6-2}
Durch vertauschen der Integrationsreiheinfolge ergibt sich folgender Normalbereich:
$ y$ - Normalbereich: $ 1 \leq y \leq 2 \hspace{10mm} y \leq x \leq y^2 $


$\displaystyle \Rightarrow I$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int \limits_{y=1}^2 \int \limits_{x=y}^{y^2}\sin \left(\frac{\pi x}{2y}\right) \,dx \,dy$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \int \limits_{y=1}^2 \left[\left(\frac{2y}{\pi}\right)\left(-\cos \left(\frac{\pi x}{2y}\right)\right)\right]^{y^2}_y\,dy$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{2}{\pi} \int \limits^2_{y=1} y \left(\cos \left(\frac{\pi}... ...{\pi} \int \limits^2_{y=1} y \left(\cos \left(\frac{\pi}{2}y\right)\right) \,dy$  
       
    $\displaystyle \mathrm{partielle} \, \, \mathrm{Integration}$  
       
  $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{2}{\pi} \left(\left[-y \frac{2}{\pi} \sin \left(\frac{\pi}... ...rac{2}{\pi} \int \limits^2_{y=1} \sin \left(\frac{\pi}{2}y \right) \,dy \right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{2}{\pi} \left(-\frac{2}{\pi} + \frac{2}{\pi} \left[-\frac{2}{\pi}\cos \left(\frac{\pi}{2}y \right)\right]^2_{y=1} \right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{4}{\pi^2} \left(1-\left(-\frac{2}{\pi}+0\right)\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{4}{\pi^2}\left(1+\frac{2}{\pi}\right) \approx 0,2476$  

(Ausgearbeitet von Philip Ganssmann)
[Aufgabe]
  automatisch erstellt am 4.  2. 2009