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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösungshinweis zu

Aufgabe 661: Differentialgleichung erster Ordnung, integrierender Faktor

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Bestimmen Sie die allgemeine Lösung $ y(x)$ der Differentialgleichung

$\displaystyle 1+xy = (x^2+x^3y) y', \qquad x > 0. $

Ermitteln Sie dazu einen integrierenden Faktor mit einem möglichst einfachen Ansatz $ \left(\mu=\mu(x)\right.$ oder $ \left.\mu=\mu(y)\right)$.

Ein integrierender Faktor für die Differentialgleichung $ f(x,y)+g(x,y)y'=0$, der nur von $ x$ abhängt, muss die Gleichung

$\displaystyle \dfrac{\mu'(x)}{\mu(x)}=\dfrac{f_y(x,y)-g_x(x,y)}{g(x,y)} $

erfüllen. Entsprechend gilt für einen integrierenden Faktor, der nur von $ y$ abhängt,

$\displaystyle \dfrac{\mu'(y)}{\mu(y)}=\dfrac{g_x(x,y)-f_y(x,y)}{f(x,y)} \,. $

(Autor: Jörg Hörner)
[Aufgabe]
  automatisch erstellt am 12.  2. 2009