Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösungshinweis zu: Aufgabe 231: Flächeninhalt eines ebenen Polygons

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	Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösungshinweis zu
	Aufgabe 231: Flächeninhalt eines ebenen Polygons

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Zeigen Sie, dass der Flächeninhalt eines ebenen

-Ecks mit den Eckpunkten $Q_1,\,\ldots,\, Q_n$ durch die Formel

$\displaystyle A=\frac{1}{2}\left\vert\sum_{i=1}^{n}\left(\overrightarrow{Q_{i-1}Q_i} \times \overrightarrow{Q_{i-1}P\,}\right) \, \right\vert\,, \qquad Q_0=Q_n,$

mit einem beliebig gewählten Punkt

berechnet werden kann.

Setzen Sie zunächst voraus, daß die Ecken des Polygons im mathematisch positiven Sinn durchlaufen werden.
Interpretieren Sie $\frac{1}{2}\,(\vec{a}\times\vec{b}\,)$ als Flächeninhalt. Wann ist die Fläche positiv bzw.negativ?
Untersuchen Sie als Induktionsanfang den Fall . Welche relativen Lagen von Punkt und Dreieck können auftreten?
Zerlegen Sie im Induktionsschluß das -Eck in ein -Eck und ein Dreieck. Wenden Sie die Induktionsvoraussetzung an und addieren Sie die beiden Teilflächen.
Beweisen Sie die Formel $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}\times\overrightarrow{BC}=0$ . An welcher Stelle ist sie nützlich?
Was ändert sich, wenn die Ecken des Polygons im mathematisch negativen Sinn durchlaufen werden?

(Autor: Christian Apprich)

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automatisch erstellt am 7. 6. 2005