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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Möbiustransformationen zu

Aufgabe 253: Möbius-Transformation

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Finde eine Möbiustransformation, welche $ \mbox{$\{ z\in\bar{\mathbb{C}}\; \vert\; \vert z\vert \leq 1\}$}$ auf $ \mbox{$\{ z\in\bar{\mathbb{C}}\; \vert\; \vert z - \mathrm{i}\vert \geq 1\}$}$ abbildet.

Seien $ \mbox{$z_1 = 1$}$, $ \mbox{$z_2 = \mathrm{i}$}$, $ \mbox{$z_3 = -1$}$ und seien $ \mbox{$w_1 = 0$}$, $ \mbox{$w_2 = -1 + \mathrm{i}$}$, $ \mbox{$w_3 = 2\mathrm{i}$}$. Der Ansatz

$ \mbox{$\displaystyle \frac{w - 0}{w - 2\mathrm{i}}\frac{(-1 + \mathrm{i}) - 2... ...hrm{i}) - 0} = \frac{z - 1}{z - (-1)}\frac{\mathrm{i}- (-1)}{\mathrm{i}- 1} $}$
führt auf $ \mbox{$\mathrm{i}w(z+1) = -\mathrm{i}(z-1)(w - 2\mathrm{i})$}$, und schließlich auf $ \mbox{$f(z) = w = \frac{\mathrm{i}z - \mathrm{i}}{z}$}$.

Beachte, daß diese Lösung von der Wahl der Punkte abhängt, und noch weitere Möbiustransformationen existieren, die ebenfalls die Aufgabe lösen.

(Autoren: Künzer/Meister/Nebe)
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  automatisch erstellt am 7.  6. 2005