Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Kurvenintegral zu: Aufgabe 255: Komplexes Kurvenintegral

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	Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Kurvenintegral zu
	Aufgabe 255: Komplexes Kurvenintegral

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Berechnen Sie das Wegintegral $\int_\gamma z^2\, dz$ entlang $\gamma(t) = \mathrm{i}t + \sin(t)$ mit $t\in [0,2\pi]$ .

Mit $\mbox{$\tilde{\gamma}(t) = \mathrm{i}t$}$ , $\mbox{$t\in[0,2\pi]$}$ , gilt zunächst $\mbox{$\gamma(0) = \tilde{\gamma}(0)$}$ und $\mbox{$\gamma(2\pi) = \tilde{\gamma}(2\pi)$}$ . Die Funktion $\mbox{$f(z) = z^2$}$ ist holomorph auf ganz $\mbox{$G = \mathbb{C}$}$ , also ist insbesondere die zwischen $\mbox{$\gamma$}$ und $\mbox{$\tilde \gamma$}$ eingeschlossene Teilmenge in $\mbox{$G$}$ enthalten. Somit gilt

$\mbox{$\displaystyle \int_\gamma z^2\, dz \; =\; \int_{\tilde{\gamma}} z^2\, ... ...=\; \int_0^{2\pi} -\mathrm{i}t^2\, dt \; =\; \frac{-8\mathrm{i}\pi^3}{3}\; . $}$

(Autoren: Künzer/Meister/Nebe)

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automatisch erstellt am 7. 6. 2005