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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Cauchysche Integralformel zu

Aufgabe 257: Cauchysche Integralformel

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Sei $ \mbox{$\gamma_1(t) = \frac{1}{2} e^{\mathrm{i}t}$}$ für $ \mbox{$t\in [0,2\pi]$}$, sei $ \mbox{$\gamma_2(t) = 1 + \frac{1}{2} e^{\mathrm{i}t}$}$ für $ \mbox{$t\in [0,2\pi]$}$. Berechne $ \mbox{$\int_\gamma \frac{e^{1-z}}{z^3(1-z)}\, dz$}$ für $ \mbox{$\gamma = \gamma_1$}$ und für $ \mbox{$\gamma = \gamma_2$}$.

Mit der Cauchyschen Integralformel gilt mit $ \mbox{$f(z) = \frac{e^{1-z}}{1-z}$}$

$ \mbox{$\displaystyle f''(0) = \frac{2!}{2\pi \mathrm{i}}\int_{\gamma_1} \frac{e^{1-z}}{z^3(1-z)}\, dz\; , $}$
und $ \mbox{$f''(z) = e^{1-z} ((1-z)^{-1} - 2(1-z)^{-2} + 2(1-z)^{-3})$}$. Somit gilt $ \mbox{$\int_{\gamma_1} \frac{e^{1-z}}{z^3(1-z)}\, dz = e\pi \mathrm{i}$}$.

Mit der Cauchyschen Integralformel gilt mit $ \mbox{$f(z) = \frac{e^{1-z}}{z^3}$}$

$ \mbox{$\displaystyle f(1) = -\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}\int_{\gamma_2} \frac{e^{1-z}}{z^3(1-z)}\, dz\; . $}$
Somit ist $ \mbox{$\int_{\gamma_2} \frac{e^{1-z}}{z^3(1-z)}\, dz = -2\pi \mathrm{i}$}$.
(Autoren: Künzer/Meister/Nebe)
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  automatisch erstellt am 7.  6. 2005