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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Taylorentwicklung zu

Aufgabe 258: Taylorentwicklung

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Entwickle $ \mbox{$f(z) = \sqrt{1+z}$}$ (definiert als $ \mbox{$\exp(\frac{1}{2}\,{\operatorname{Log}}(1+z))$}$ auf $ \mbox{$z\in\mathbb{C}\backslash (-\infty,-1]$}$) um $ \mbox{$z_0 = 0$}$.

Gib ein Konvergenzgebiet an.

Es ist $ \mbox{$f^{(0)}(z) = (1 + z)^{1/2}$}$, $ \mbox{$f^{(1)}(z) = \frac{1}{2} (1+z)^{-1/2}$}$, und für $ \mbox{$j\geq 2$}$

$ \mbox{$\displaystyle f^{(j)}(z) = (-1)^{j+1}\frac{1\cdot 3\cdot\,\cdots\, \cdot (2j - 3)}{2^j} (1+z)^{1/2 - j}\; . $}$
Somit wird
$ \mbox{$\displaystyle f(z) \; = \; 1 + \frac{1}{2} z + \sum_{j = 2}^\infty (-1)^{j+1}\frac{1\cdot 3\cdot\,\cdots\, \cdot (2j - 3)}{2^j j!} z^j\; , $}$
konvergent in $ \mbox{$B_1(0)$}$.
(Autoren: Künzer/Meister/Nebe)
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  automatisch erstellt am 7.  6. 2005