Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Dirichletproblem zu: Aufgabe 261: Dirichletproblem auf dem Einheitskreis

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	Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Dirichletproblem zu
	Aufgabe 261: Dirichletproblem auf dem Einheitskreis

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Sei $\mbox{$u_0:\partial B_1(0)\longrightarrow \mathbb{R}$}$ definiert als

$\mbox{$\displaystyle u_0(\cos(t),\sin(t)) = \cos^2 t $}$

für $\mbox{$t\in [0,2\pi)$}$ . Gefragt ist der Funktionswert der Lösung des zugehörigen Dirichletproblems auf $\mbox{$\bar{B}_1(0)$}$ bei $\mbox{$(x,y) = (0,0)$}$ .

Es gilt

$\mbox{$\displaystyle u(x,y)\; =\; {\displaystyle\frac{1}{2\pi}}\int_0^{2\pi} {\displaystyle\frac{1-r^2}{1 - 2r\cos(t - \alpha) + r^2}} \cos^2 t\, dt\; . $}$

Bei $\mbox{$(x,y) = (0,0)$}$ haben wir $\mbox{$r = 0$}$ und erhalten

$\mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} u(0,0) & = & \frac{1}{2\pi}\int_0^{2... ...int_0^{2\pi} (1 + \cos(2t))\, dt \\ & = & \frac{1}{2} \; . \\ \end{array}$}$

(Autoren: Künzer/Meister/Nebe)

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automatisch erstellt am 7. 6. 2005