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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Laurententwicklung (Exponentialfunktion) zu

Aufgabe 264: Laurententwicklung (Exponentialfunktion)

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Sei $ \mbox{$f(z) = \exp(-z^{-2})$}$ für $ \mbox{$z\in B_{\infty,0}(0)$}$. Entwickle $ \mbox{$f$}$ dort in eine Laurentreihe. Welche Art isolierter Singularität liegt vor? Gibt es eine Folge $ \mbox{$(z_n)$}$ mit $ \mbox{$\lim_{n\to\infty} z_n = 0$}$ und $ \mbox{$\lim_{n\to\infty} f(z_n) = 1$}$? Was ist $ \mbox{$\lim_{n\to\infty} f(1/n)$}$?

Auf $ \mbox{$B_{\infty,0}(0)$}$ ist

$ \mbox{$\displaystyle \exp(-z^{-2})\; =\; \sum_{j\geq 0} \frac{(-1)^j}{j!} z^{-2j}\; , $}$
mithin liegt eine wesentliche Singularität vor. Sei $ \mbox{$\delta_n = 1/n$}$, sei $ \mbox{$\varepsilon _n = 1/n$}$, sei $ \mbox{$z_n$}$ nach Casorati-Weierstraß so gewählt, daß $ \mbox{$\vert z_n\vert < \delta_n$}$ und $ \mbox{$\vert f(z_n) - 1\vert < \varepsilon _n$}$. Dann gelten $ \mbox{$z_n\to 0$}$ und $ \mbox{$f(z_n)\to 1$}$ für $ \mbox{$n\to\infty$}$.

Schließlich ist

$ \mbox{$\displaystyle \lim_{n\to\infty} f(1/n) \; =\; \lim_{n\to\infty} \exp(-n^2)\; =\; 0\; , $}$
d.h. je nach dem, wie die Singularität approximiert wird, kann man unterschiedliche Grenzwerte erhalten.
(Autoren: Künzer/Meister/Nebe)
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  automatisch erstellt am 7.  6. 2005