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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Ungleichung von Chebyshev (Münzwurf) zu

Aufgabe 271: Ungleichung von Chebyshev (Münzwurf)

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Wie oft muß eine Münze mindestens geworfen werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $ \mbox{$0.98$}$ die relative Häufigkeit von Kopf vom erwarteten Wert $ \mbox{$p = \frac{1}{2}$}$ um weniger als $ \mbox{$0.01$}$ abweicht? Approximiere mit Hilfe der Chebyshevschen Ungleichung.

Der Münzwurf wird durch eine Folge unabhängiger Zufallsvariablen $ \mbox{$(X_n)_{n\in\mathbb{N}}$}$ beschrieben mit $ \mbox{$P(X_i = 1) = P(X_i = 0) = p = 0.5$}$.

Gesucht ist $ \mbox{$n\in\mathbb{N}$}$ minimal, so daß $ \mbox{$P(\left\vert\bar{X}_n - 0.5\right\vert < 0.01) \leq 0.98$}$, oder äquivalent,

$ \mbox{$\displaystyle P(\left\vert\bar{X}_n - 0.5\right\vert \geq 0.01) \; \leq\; 0.02\; . $}$

Es gilt $ \mbox{${\operatorname{E}}(\bar{X}_n) = 0.5$}$ und $ \mbox{${\operatorname{Var}}(\bar{X}_n) = \frac{p(1-p)}{n} = \frac{1}{4n}$}$. Die Chebyshevsche Ungleichung ergibt

$ \mbox{$\displaystyle P(\left\vert\bar{X}_n - 0.5\right\vert \geq 0.01) \leq \frac{{\operatorname{Var}}(\bar{X}_n)}{0.01^2} = \frac{2500}{n}\; , $}$
und für $ \mbox{$\frac{2500}{n} \leq 0.02$}$ muß nun $ \mbox{$n\geq 125000$}$ gelten.
(Autoren: Künzer/Meister/Nebe)
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  automatisch erstellt am 7.  6. 2005