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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Approximation (Ziehen aus Urne) zu

Aufgabe 273: Approximation (Ziehen aus Urne)

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In einer Urne mit $ \mbox{$n$}$ Kugeln seien eine schwarze Kugel und $ \mbox{$(n-1)$}$ weiße Kugeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei $ \mbox{$n$}$-maligem Ziehen mit Zurücklegen, $ \mbox{$k$}$-mal die schwarze Kugel gezogen zu haben? Gebe eine Approximation für große $ \mbox{$n$}$ an.

Bei $ \mbox{$n$}$ Kugeln ist $ \mbox{$p_n=\frac{1}{n}$}$ die Wahrscheinlichkeit, eine schwarze Kugel zu ziehen. Die Wahrscheinlichkeit, bei $ \mbox{$n$}$-maligem Ziehen mit Zurücklegen aus einer Urne mit $ \mbox{$n$}$ Kugeln $ \mbox{$k$}$-mal die schwarze Kugel zu ziehen, ist

$ \mbox{$\displaystyle \binom{n}{k}p_n^k(1-p_n)^{n-k}. $}$
Es gilt $ \mbox{$n\,p_n=:\lambda=1$}$, also sind insbesondere die Voraussetzungen für den Poissonschen Grenzwertsatz erfüllt, d.h. es gilt
$ \mbox{$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\binom{n}{k}p_n^k(1-p_n)^{n-k} \; =\; \frac{1}{e\cdot k!}\; . $}$
Für große $ \mbox{$n$}$ ist die Wahrscheinlichkeit, $ \mbox{$k$}$ schwarze Kugeln zu ziehen, approximativ $ \mbox{${\displaystyle\frac{1}{e\cdot k!}}$}$.

(Autoren: Künzer/Meister/Nebe)
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  automatisch erstellt am 7.  6. 2005