Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Endliche Körper zu: Aufgabe 279: Endliche Körper, Zech-Logarithmen

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	Aufgabe 279: Endliche Körper, Zech-Logarithmen

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(i): Definiere $\mbox{$\mathbb{F}_{27}$}$ als Restklassenring.
(ii): Finde ein primitives Element von $\mbox{$\mathbb{F}_{27}$}$ .
(iii): Gib eine Tafel mit Zech-Logarithmen an.
(iv): Finde ein nicht primitives Element von $\mbox{$\mathbb{F}_{27}\backslash \mathbb{F}_3$}$ .
(v): Finde alle Elemente von $\mbox{$x\in\mathbb{F}_{27}$}$ mit $\mbox{$F(x) = x$}$ .

(i)

Ein Polynom vom Grade $\mbox{$3$}$ ist reduzibel falls man einen Linearfaktor abspalten kann, d.h. falls es eine Nullstelle hat. Das Polynom $\mbox{$X^3 + X^2 -1$}$ hat (wie man durch Einsetzen von $\mbox{$0,1,-1$}$ nachrechnet) in $\mbox{$\mathbb{F}_3$}$ kein Nullstelle, ist also irreduzibel, und man kann

$\mbox{$\displaystyle \mathbb{F}_{27} \; =\; \mathbb{F}_3[X] / (X^3 + X^2 - 1)\mathbb{F}_3[X] $}$

setzen.

(ii)

Man wird versuchen, ein möglichst einfaches primitives Element zu finden, welches andererseits aber natürlich nicht in $\mbox{$\mathbb{F}_3$}$ liegen darf. Polynomdivision von $\mbox{$(-X)^{13}$}$ durch $\mbox{$X^3 + X^2 -1$}$ in $\mbox{$\mathbb{F}_3[X]$}$ liefert

$\mbox{$\displaystyle - X^{13} \; =\; (X^3 + X^2 - 1) \cdot (- X^{10} + X^9 - X^8 - X^7 - X^6 - X + 1) - 1. $}$

In $\mbox{$\mathbb{F}_{27}$}$ wird somit $\mbox{$(-X)^{13} = - 1$}$ , d.h. $\mbox{$\alpha = -X$}$ ist in der Tat ein primitives Element.

(iii)

Für $\mbox{$\alpha = -X$}$ ergibt sich in $\mbox{$\mathbb{F}_{27}$}$ (d.h. modulo $\mbox{$X^3 + X^2 -1$}$ )

$\mbox{$k$}$	$\mbox{$\alpha^k$}$	$\mbox{$k$}$	$\mbox{$\alpha^k$}$
$\mbox{$0 $}$	$\mbox{$1$}$	$\mbox{$1$}$	$\mbox{$-X$}$
$\mbox{$2 $}$	$\mbox{$X^2$}$	$\mbox{$3$}$	$\mbox{$X^2-1$}$
$\mbox{$4 $}$	$\mbox{$X^2+X-1$}$	$\mbox{$5 $}$	$\mbox{$X-1$}$
$\mbox{$6 $}$	$\mbox{$-X^2+X$}$	$\mbox{$7 $}$	$\mbox{$X^2+1$}$
$\mbox{$8 $}$	$\mbox{$X^2-X-1$}$	$\mbox{$9 $}$	$\mbox{$X^2+X-1$}$
$\mbox{$10$}$	$\mbox{$X^2+X+1$}$	$\mbox{$11$}$	$\mbox{$-X-1$}$
$\mbox{$12$}$	$\mbox{$X^2+X$}$	$\mbox{$13$}$	$\mbox{$-1$}$

Die Einträge $\mbox{$\alpha^{14},\dots,\alpha^{25}$}$ ergeben sich durch Negation, $\mbox{$\alpha^{14} = -\alpha^1$}$ etc.

Zu $\mbox{$m\in\{0,\dots,25\}$}$ ist jeweils $\mbox{$l\in \{-1,1,2,3,4,\dots,25\}$}$ so zu bestimmen, daß $\mbox{$1+\alpha^m = \alpha^l$}$ gilt ( $\mbox{$l=-1$}$ falls $\mbox{$1+\alpha^m = 0$}$ ).

Der Zech-Logarithmus zu bspw. $\mbox{$m=7$}$ ergibt sich wegen $\mbox{$1+\alpha^7 = X^2-1 = \alpha^3$}$ zu $\mbox{$l = 3$}$ ; und entsprechend werden die weiteren Werte ermittelt.

$\mbox{$k$}$

$\mbox{$0 $}$

$\mbox{$1$}$

$\mbox{$2 $}$

$\mbox{$3$}$

$\mbox{$4 $}$

$\mbox{$5 $}$

$\mbox{$6 $}$

$\mbox{$7 $}$

$\mbox{$8 $}$

$\mbox{$9 $}$

$\mbox{$10$}$

$\mbox{$11$}$

$\mbox{$12$}$

$\mbox{$l$}$

$\mbox{$13$}$

$\mbox{$18$}$

$\mbox{$7 $}$

$\mbox{$2 $}$

$\mbox{$12$}$

$\mbox{$14$}$

$\mbox{$21$}$

$\mbox{$3$}$

$\mbox{$19$}$

$\mbox{$6 $}$

$\mbox{$4 $}$

$\mbox{$1$}$

$\mbox{$10$}$

$\mbox{$k$}$

$\mbox{$13$}$

$\mbox{$14$}$

$\mbox{$15$}$

$\mbox{$16$}$

$\mbox{$17$}$

$\mbox{$18$}$

$\mbox{$19$}$

$\mbox{$20$}$

$\mbox{$21$}$

$\mbox{$22$}$

$\mbox{$23$}$

$\mbox{$24$}$

$\mbox{$25$}$

$\mbox{$l$}$

$\mbox{$-1$}$

$\mbox{$24$}$

$\mbox{$16$}$

$\mbox{$20$}$

$\mbox{$23$}$

$\mbox{$11$}$

$\mbox{$22$}$

$\mbox{$15$}$

$\mbox{$9 $}$

$\mbox{$8 $}$

$\mbox{$25$}$

$\mbox{$5 $}$

$\mbox{$17$}$

(iv)

Ein nicht primitives Element $\mbox{$\beta = \alpha^k$}$ aus $\mbox{$\mathbb{F}_{27}\backslash\mathbb{F}_3$}$ erfüllt $\mbox{$\beta^{13} = 1$}$ , da $\mbox{$\beta^2 = 1$}$ oder $\mbox{$\beta^1 = 1$}$ bereits $\mbox{$\beta\in\mathbb{F}_3$}$ nach sich zöge. Nun bedeutet $\mbox{$\beta^{13} = \alpha^{13 k} = 1$}$ aber gerade, daß $\mbox{$26$}$ den Exponenten $\mbox{$13k$}$ teilt. Jedes Element aus $\mbox{$\{\alpha^2,\alpha^4,\dots,\alpha^{24}\}$}$ erfüllt also die Anforderungen.

(v)

Argument A: Zunächst ist $\mbox{$F(0) = 0$}$ . Für Elemente $\mbox{$x=\alpha^k$}$ aus $\mbox{$\mathbb{F}_{27}\backslash\{0\}$}$ muß $\mbox{$F(\alpha^k) = \alpha^{3k} = \alpha^k$}$ gelten, d.h. $\mbox{$26$}$ muß $\mbox{$3k - k = 2k$}$ teilen, in anderen Worten, $\mbox{$k\in\{ 0, 13\}$}$ . Insgesamt erhalten wir so die Fixpunktmenge $\mbox{$\{0,\alpha^0,\alpha^{13}\} = \{ 0, 1, -1\}\subseteq \mathbb{F}_{27}$}$ .
Argument B: Für $\mbox{$t\in\mathbb{F}_3\subseteq \mathbb{F}_{27}$}$ ist $\mbox{$F(t) = t^3 = t$}$ . Da das Polynom $\mbox{$T^3 - T$}$ von Grad $\mbox{$3$}$ ist, hat es aber höchstens $\mbox{$3$}$ Nullstellen. Außerhalb von $\mbox{$\mathbb{F}_3$}$ befinden sich also keine weiteren Fixpunkte.

(Autoren: Künzer/Meister/Nebe)

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automatisch erstellt am 7. 6. 2005