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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösungshinweis zu

Aufgabe 282: Zyklischer Code

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Ein zyklischer Code $ \mbox{$C_g$}$ der Länge $ \mbox{$N=9$}$ über $ \mbox{$\mathbb{F}_8$}$ werde durch $ \mbox{$g = X^4 + \alpha^4 X^3 + \alpha^3 X^2 + \alpha^2 X + 1$}$ erzeugt, wobei $ \mbox{$\alpha\in\mathbb{F}_8$}$ die Gleichung $ \mbox{$\alpha^3 + \alpha + 1 = 0$}$ erfüllt.

  1. Stelle die Zech-Logarithmentafel für $ \mbox{$\mathbb{F}_8$}$ bzgl. $ \mbox{$\alpha$}$ auf.

  2. Berechne das Prüfpolynom $ \mbox{$h$}$.

  3. Sei $ \mbox{$\beta\in\mathbb{F}_{64}$}$ ein Element, für welches $ \mbox{$\beta^2+\alpha \beta + 1 = 0$}$ gilt. Zeige, daß $ \mbox{$\beta$}$ eine primitive $ \mbox{$9$}$-te Einheitswurzel ist.

  4. Gib $ \mbox{$A,B\in\mathbb{N}$}$ an mit $ \mbox{$B-A\leq 2$}$ und $ \mbox{$A \leq d(C_g) \leq B$}$.

  5. Codiere $ \mbox{$(1, \alpha^3, \alpha^2, \alpha, \alpha^4)$}$.

  6. Decodiere $ \mbox{$(1, \alpha^4, \alpha, 0, \alpha, \alpha^4, 1, 0, \alpha)$}$ unter Verwendung des unvollständigen Decodierens. Gib den Fehlervektor an.

  1. Erstelle Tabelle für $ \mbox{$X \mapsto X+1$}$.
  2. Bei der Polynomdivision $ \mbox{$X^9-1$}$ durch $ \mbox{$g$}$ darf kein Rest auftreten.
  3. Berechne $ \mbox{$\beta^3$}$ und damit $ \mbox{$\beta^9$}$.
  4. Für die obere Abschätzung betrachte man die Erzeugermatrix, für die untere berechne man $ \mbox{$g(\beta)$}$ und $ \mbox{$g(\beta^2)$}$.
  5. Verwende Polynomdivision durch $ \mbox{$g$}$.
  6. Bestimme $ \mbox{$\sigma$}$ und $ \mbox{$\omega$}$.
(Autoren: Künzer/Meister/Nebe)
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  automatisch erstellt am 7.  6. 2005