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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Quasilineare partielle Differentialgleichung erster Ordnung zu

Aufgabe 287: Quasilineare partielle Differentialgleichung erster Ordnung

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Bestimme die allgemeine Lösung der quasi-linearen Gleichung

$\displaystyle u u_x + u^2 u_y + z = 0. $

Setzt man $ \mbox{$f(x,y,z,v)=\text{const}$}$ mit $ \mbox{$v = u(x,y,z)$}$ an, so ist die lineare Gleichung

$ \mbox{$\displaystyle v f_x + v^2 f_y - z f_v = 0 $}$
in den Variablen $ \mbox{$x,y,z,v$}$ zu lösen.

Aus dem Gleichungssystem für die Charakteristiken

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{lll} \frac{dx}{dv} & = & -v/z \vspace*{2mm... ...c{dy}{dv} & = & -v^2/z\vspace*{2mm}\\ \frac{dz}{dv} & = & 0\; . \end{array}$}$
erhält man wegen $ \mbox{$z$}$ konstant in $ \mbox{$v$}$ die Charakteristiken implizit beschrieben durch
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} z & = & {\mbox{const.}} \\ 2xz+v^2 & = & {\mbox{const.}} \\ 3yz+v^3 & = & {\mbox{const.}}\; , \\ \end{array}$}$
und also die unabhängigen Lösungen $ \mbox{$2xz+v^2$}$, $ \mbox{$3yz+v^3$}$ und $ \mbox{$z$}$.

Die Lösung der ursprünglichen quasi-linearen Gleichung ist dann implizit gegeben durch

$ \mbox{$\displaystyle f(x,y,z,u(x,y,z))\; =\; g(2xz+u(x,y,z)^2,\; 3yz+u(x,y,z)^3,\; z ) \; =\; \text{const.} $}$
mit $ \mbox{$g$}$ beliebig, aber nicht unabhängig von den ersten beiden Variablen, und auch dann so, daß $ \mbox{$f_v$}$ nicht identisch verschwindet.

(Autoren: Künzer/Meister/Nebe)
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  automatisch erstellt am 7.  6. 2005