Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Umkehrformel für Polynome zu: Aufgabe 291: Umkehrformel für Polynome

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	Aufgabe 291: Umkehrformel für Polynome

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Sei $\mbox{$f(t) = t^k$}$ mit $\mbox{$k\geq 0$}$ , sei $\mbox{$\sigma > 0$}$ . Verifiziere, daß

$\mbox{$\displaystyle f(t)\; =\; \frac{1}{2\pi\mathrm{i}} \int_{\sigma - \math... ...gma + \mathrm{i}\infty} \exp(z t){\operatorname{\mathcal{L}}}(f)(z)\, dz\; . $}$

Das Integral $\mbox{$\int_{\sigma - \mathrm{i}\infty}^{\sigma + \mathrm{i}\infty}$}$ ist hierbei so zu verstehen, daß der Grenzwert über die Integrationswege $\mbox{$\gamma_r: [-1,1]\to\mathbb{C}: x\mapsto \sigma + \mathrm{i}rx$}$ für $\mbox{$r\to\infty$}$ zu bilden ist.

Partielle Integration ergibt

$\mbox{$\displaystyle \begin{array}{rl} \frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_{\sigma ... ...\int_\gamma \exp(zt) \frac{dz}{z}\vspace*{2mm} \\ = & t^k\; , \end{array}$}$

wobei $\mbox{$\gamma$}$ einen einfach geschlossenen Weg um den Ursprung darstelle (etwa $\mbox{$\gamma: [0,1]\longrightarrow \mathbb{C}: x\mapsto \exp(2\pi\mathrm{i}x)$}$ ).

Somit ist die Umkehrformel der Laplacetransformation zumindest für Polynome gezeigt.

(Autoren: Künzer/Meister/Nebe)

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automatisch erstellt am 7. 6. 2005