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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 451: Unbestimmte Integration

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Bestimmen Sie die folgenden unbestimmten Integrale.
a) $ \displaystyle \int \frac{10}{\sqrt[5]{x}} \; \mathrm{d} x$                  b) $ \displaystyle \int (x+1)(2x-5) \; \mathrm{d} x$                  c) $ \displaystyle \int 5 \frac{(x-2)}{\sqrt{x^3}} \; \mathrm{d} x$
Erinnern wir uns an die einfache Potenzregel bei der Integration,

$\displaystyle \int x^n \; d x = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \;\; n \ne -1. $

(a)
$ \displaystyle \int \frac{10}{\sqrt[5]{x}} \; d x$

Schreibe den Ausdruck um als

$ \displaystyle \int \frac{10}{\sqrt[5]{x}} \; d x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int 10 \; x^{-\frac{1}{5}} \; d x,$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 10 \int x^{-\frac{1}{5}} \; d x,$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 10 \frac{x^{\frac{4}{5}}}{4/5} + C,$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{50}{4} \; x^{\frac{4}{5}} + C.$  

(b)
$ \displaystyle \int (x+1)(2x-5) \; \ud x$

Nachdem man das Polynom ausmultipliziert hat, kann die Potenzregel einfach angewendet werden.

$\displaystyle \int (x+1)(2x-5) \; d x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int (2x^2-5x+2x-5) \; d x,$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \int (2x^2-3x-5) \; d x,$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\int x^2 \; d x -3 \int x \; d x -5 \int d x,$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 2 \frac{x^3}{3} -3 \frac{x^2}{2} -5x + C.$  

(c)
$ \displaystyle \int 5 \, \frac{(x-2)}{\sqrt{x^3}} \; \ud x$

Schreibe den Ausdruck um als

$ \displaystyle \int 5 \, \frac{(x-2)}{\sqrt{x^3}} \; \ud x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 5 \, \int (x-2) \; x^{-\frac{3}{2}} \; d x,$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 5 \int x^{-\frac{1}{2}} \; d x -10 \int x^{-\frac{3}{2}} \; d x,$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 5 \; \frac{x^{\frac{1}{2}}}{1/2} -10 \; \frac{x^{-\frac{1}{2}}}{-1/2} + C,$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 10 \; x^{\frac{1}{2}} + 20 \; x^{-\frac{1}{2}} + C,$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 10 \; \sqrt{x} + \frac{20}{\sqrt{x}} + C.$  

(Autoren: Rafee/Knödler)
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  automatisch erstellt am 7.  6. 2005