Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 850: Die achten Einheitswurzeln

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Finden Sie alle Lösungen der Gleichung $ \mbox{$z^8 = 1$}$ mit $ \mbox{$z\in\mathbb{C}$}$. Geben Sie die Summe der Inversen dieser Lösungen an.

Gesucht sind alle $ \mbox{$z\in\mathbb{C}$}$ mit $ \mbox{$z^4=\pm 1$}$, also alle $ \mbox{$z\in\mathbb{C}$}$ mit $ \mbox{$z^2=\pm 1$}$ oder $ \mbox{$z^2=\pm\mathrm{i}$}$. Die Gleichung $ \mbox{$z^2=\pm 1$}$ liefert $ \mbox{$z\in\{1,-1,\mathrm{i},-\mathrm{i}\}$}$.

Für die Gleichung $ \mbox{$z^2=\pm\mathrm{i}$}$ setzen wir $ \mbox{$z=x+\mathrm{i}y$}$ an mit $ \mbox{$x,y\in\mathbb{R}$}$ und erhalten

$ \mbox{$\displaystyle z^2=x^2-y^2+2\mathrm{i}xy.$}$
Aus $ \mbox{$z^2=\mathrm{i}$}$ folgt dann $ \mbox{$x^2-y^2=0$}$ und $ \mbox{$xy=1/2$}$, also $ \mbox{$x=y=1$}$ oder $ \mbox{$x=y=-1/2$}$ und damit $ \mbox{$z=\pm\frac{1+\mathrm{i}}{\sqrt{2}}$}$. Andererseits führt $ \mbox{$z^2=-\mathrm{i}$}$ zu $ \mbox{$x^2-y^2=0$}$ und $ \mbox{$xy=-1/2$}$, also $ \mbox{$x=1,y=-1$}$ oder $ \mbox{$x=-1,y=1$}$ und damit $ \mbox{$z=\pm \frac{1-\mathrm{i}}{\sqrt{2}}$}$.

Insgesamt haben wir folgende 8 Lösungen:

$ \mbox{$\displaystyle \pm 1,\ \pm\mathrm{i},\ \pm\frac{1+\mathrm{i}}{\sqrt{2}},\ \pm\frac{1-\mathrm{i}}{\sqrt{2}}.$}$
Die Inversen dieser 8 Zahlen ergeben sich zu:
$ \mbox{$\displaystyle \pm 1,\ \mp\mathrm{i},\ \pm\frac{1-\mathrm{i}}{\sqrt{2}},\ \pm\frac{1+\mathrm{i}}{\sqrt{2}}.$}$
Die Summe dieser 8 Inversen ist damit offenbar $ \mbox{$0$}$.
(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)
[Aufgabe]
  automatisch erstellt am 23.  8. 2010