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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 851: Supremum und Infimum

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Sei $ \mbox{$M = \left\{\left.\frac{1}{x} - \frac{1}{y}\;\right\vert\; x,y\in\mathbb{R}, x,y\geq 1\right\}$}$. Bestimme Infimum und Supremum und entscheide, ob ein Minimum bzw. Maximum vorliegt.

Zunächst ist stets

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcrcl} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} & < & \fr... ...\frac{1}{x} - \frac{1}{y} & > & -\frac{1}{y} & \geq & -1\; . \\ \end{array}$}$

Wir behaupten, daß $ \mbox{$\sup M = 1$}$. Dies ist eine obere Schranke, und es bleibt zu zeigen, daß $ \mbox{$s < 1$}$ keine obere Schranke mehr ist. Da $ \mbox{$0 = \frac{1}{1} - \frac{1}{1}\in M$}$, dürfen wir $ \mbox{$s\geq 0$}$ annehmen. Für $ \mbox{$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} > s$}$ wählen wir $ \mbox{$x = 2/(1+s)$}$ (ist $ \mbox{$\geq 1\;\;$}$!) und $ \mbox{$y = 4/(1-s)$}$ (ist ebenfalls $ \mbox{$\geq 1\;\;$}$!) und erhalten

$ \mbox{$\displaystyle \frac{1}{x} - \frac{1}{y} \; =\; \frac{s+1}{2} - \frac{1-s}{4} \; =\; \frac{3s+1}{4} \; >\; s\; . $}$
Somit ist $ \mbox{$s$}$ keine obere Schranke. Da $ \mbox{$1=\sup M$}$ nicht in $ \mbox{$M$}$ liegt, besitzt $ \mbox{$M$}$ kein Maximum.

Zum Beweis von $ \mbox{$\inf M = -1$}$ merken wir an, daß $ \mbox{$s$}$ genau dann eine obere Schranke von $ \mbox{$M$}$ ist, wenn $ \mbox{$-s$}$ eine untere Schranke von $ \mbox{$M$}$ ist. Aus $ \mbox{$-1\notin M$}$ folgt, daß $ \mbox{$M$}$ kein Minimum besitzt.

(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)
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  automatisch erstellt am 7.  6. 2005