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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 852: Beweis einer Ungleichung mit vollständiger Induktion

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Sei $ \mbox{$m\geq 1$}$. Zeige: für alle $ \mbox{$n\geq 0$}$ ist

$ \mbox{$\displaystyle \sum_{k = 0}^n k^m \;\leq\; (n+1)^{m+1}/(m+1)\; . $}$

Wir verwenden Induktion über $ \mbox{$n$}$.

Induktionsanfang. Für $ \mbox{$n = 0$}$ ist $ \mbox{$0\leq 0$}$.

Induktionsschritt. Sei die Ungleichung für $ \mbox{$n-1$}$ vorausgesetzt und zeigen wir sie für $ \mbox{$n$}$. Es wird

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \sum_{k = 0}^n k^m & = & \left(\sum_... ...^{m+1} + (m+1)n^m)/(m+1) \\ & \leq & (n+1)^{m+1}/(m+1)\; , \\ \end{array}$}$
unter Verwendung der binomischen Formel für $ \mbox{$(n+1)^{m+1}$}$.
(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)
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  automatisch erstellt am 7.  6. 2005