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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 855: Summe von Binomialkoeffizientenquadraten

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Beweise für $ \mbox{$n\in\mathbb{N}$}$

$ \mbox{$\displaystyle {2n\choose n}\;=\;\sum_{u=0}^n{n\choose u}^2\; . $}$

Aus der binomischen Formel folgt

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} (1+x)^{2n} & = & \sum_{k=0}^{2n}{2n\c... ...^{2n}\left(\sum_{u+v=k}{n\choose u}{n\choose v}\right)x^k\; .\\ \end{array}$}$

Indem man den Koeffizient von $ \mbox{$x^n$}$ in beiden Summen vergleicht, erhält man

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} {2n\choose n} & = & \sum_{u+v=n}{n\ch... ...e n-u}\vspace{2mm}\\ & = & \sum_{u=0}^n {n\choose u}^2\; .\\ \end{array}$}$
(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)
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  automatisch erstellt am 7.  6. 2005