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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 857: Ungleichungen bei Folgen

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Sei $ \mbox{$x\in\mathbb{R}_{\geq 0}$}$ fest gewählt. Sei $ \mbox{$a_n := (1 + \frac{x}{n})^n$}$, sei $ \mbox{$b_n := (1 + \frac{x}{n})^{n+1}$}$ für $ \mbox{$n\geq 1$}$.

Zeige, daß für alle $ \mbox{$n\geq 1$}$ die Ungleichungen

$ \mbox{$\displaystyle a_n \;\leq\; a_{n+1} \;\leq\; b_{n+1} $}$
gelten, und daß dazuhin
$ \mbox{$\displaystyle b_{n+1} \;\leq\; b_n $}$
falls $ \mbox{$x\in [0,1]$}$.

Zunächst ist $ \mbox{$a_{n+1} \leq b_{n+1}$}$, da die Basis $ \mbox{$1 + \frac{x}{n+1} \geq 1$}$ ist.

Ferner wird für $ \mbox{$n\geq 2$}$ mit Bernoulli

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} a_n/a_{n-1} & = & \left(\frac{n+x}{n}... ...+x)}\right) \frac{n-1+x}{n-1} \vspace*{1mm}\\ & = & 1 \; . \\ \end{array}$}$
Desweiteren erhalten wir für $ \mbox{$n\geq 2$}$ und $ \mbox{$x\in [0,1]$}$ mit Bernoulli
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} b_{n-1}/b_n & = & \left(\frac{n-1+x}{... ...^2 + 2nx - n) - (x - x^2)) \vspace*{1mm} \\ & \geq & 1\; . \\ \end{array}$}$
(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)
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  automatisch erstellt am 7.  6. 2005