Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu: Aufgabe 858: Abschätzungen zweier Summen

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	Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu
	Aufgabe 858: Abschätzungen zweier Summen

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Seien $\mbox{$x_1,\dots,x_n\in\mathbb{R}_{>0}$}$ . Zeige die folgenden Ungleichungen.

(i): $\mbox{$\left(\sum_{i = 1}^n x_i\right)^2 \;\leq\; n\cdot\sum_{i = 1}^n x_i^2\; .$}$
(ii): $\mbox{$\left(\sum_{i = 1}^n ix_i\right)^{3/2} \;\leq\; \frac{n(n+1)}{2}\cdot\sum_{i = 1}^n x_i^{3/2}\; .$}$

(i): Mit $\mbox{$y_i = 1$}$ für $\mbox{$1\leq i\leq n$}$ wird mit Cauchy-Schwarz
$\mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \left(\sum_{i = 1}^n x_i\cdot 1\right... ...ight)\vspace*{2mm} \\ & = & n\cdot\sum_{i = 1}^n x_i^2\; . \\ \end{array}$}$
(ii): Mit $\mbox{$y_i = i$}$ für $\mbox{$1\leq i\leq n$}$ , mit $\mbox{$p = 3$}$ und $\mbox{$q = 3/2$}$ wird mit Hölder
$\mbox{$\displaystyle \sum_{i = 1}^n i x_i \;\leq\; \left(\sum_{i = 1}^n i^3\right)^{1/3}\left(\sum_{i = 1}^n x_i^{3/2}\right)^{2/3}\; , $}$
woraus wir
$\mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \left(\sum_{i = 1}^n i x_i\right)^{3/... ...& \frac{n(n+1)}{2}\cdot\left(\sum_{i = 1}^n x_i^{3/2}\right) \\ \end{array}$}$
ersehen.

(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)

automatisch erstellt am 7. 6. 2005