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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 861: Rekursion

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Sei die Folge $ \mbox{$(a_n)_{n\geq 1}$}$ rekursiv definiert durch Angabe von $ \mbox{$a_1$}$ und die Rekursionsgleichung

$ \mbox{$\displaystyle a_{n+1}\; :=\; \frac{a_n^2}{4}+1\ . $}$
Untersuche die Folge $ \mbox{$(a_n)_n$}$ auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert für
(i)
$ \mbox{$a_1\; := \; 0$}$ ,
(ii)
$ \mbox{$a_1\; := \; 3$}$ .

Wir zeigen zunächst unabhängig vom Wert $ \mbox{$a_1$}$ die wachsende Monotonie der Folge. Es wird

$ \mbox{$\displaystyle a_{n+1}-a_n\; =  \; \frac{a_n^2}{4}+1-a_n \; = \; (a_n/2-1)^2 \; \geq \; 0\ . $}$

(i)
Wir zeigen die Beschränktheit der Folge, indem wir per Induktion die Aussage $ \mbox{$0\leq a_n\leq 2$}$ zeigen. Für $ \mbox{$n=1$}$ ist dies klar. Sei nun $ \mbox{$0\leq a_n\leq 2$}$ gegeben, und $ \mbox{$0\leq a_{n+1}\leq 2$}$ zu zeigen. In der Tat wird
$ \mbox{$\displaystyle 0\; \leq \; a_{n+1}\; = \; \frac{a_n^2}{4}+1 \; \leq \; \frac{2^2}{4}+1 \; = \; 2\ . $}$

Nach dem Monotoniekriterium konvergiert die Folge $ \mbox{$(a_n)_n$}$ also gegen einen Grenzwert $ \mbox{$a$}$. Wir behaupten $ \mbox{$a=2$}$. Aus

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} a & = & \lim_{n\to\infty} a_n\\ & ... ... & \lim_{n\to\infty} \frac{a_n^2}{4}+1\\ & = & \frac{a^2}{4}+1 \end{array}$}$
folgt $ \mbox{$0=\frac{a^2}{4}+1-a=(a/2-1)^2$}$, also $ \mbox{$a=2$}$.

(ii)
Aus der Monotonie der Folge erhalten wir $ \mbox{$a_n\geq 3$}$ für alle $ \mbox{$n$}$, und somit
$ \mbox{$\displaystyle a_{n+1}-a_n\; =  \; (a_n/2-1)^2 \; \geq \; (3/2-1)^2 \; = \; 1/4\ . $}$
Daher ist die Folge nicht nach oben beschränkt. Da sie monoton wächst, divergiert sie bestimmt gegen $ \mbox{$+\infty$}$.
(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)
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  automatisch erstellt am 7.  6. 2005