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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Hinweis zu

Aufgabe 862: Grenzwert von Folgen, Stirling-Formel

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Zeige.

  1. $ \mbox{$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1\;\;$}$ für $ \mbox{$a>0$}$ .
  2. $ \mbox{$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1$}$ .
  3. $ \mbox{$\displaystyle\left(\frac{n}{e}\right)^n e\; \leq \; n!\; \leq\; \left(\frac{n}{e}\right)^n ne\;\;$}$ für $ \mbox{$n\geq 1$}$ .
  4. $ \mbox{$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{n!}}{n/e}\; =\; 1\;\;$}$ (schwache Form der Stirlingschen Formel).

  1. Verwende $ \mbox{$\sqrt[n]{a}=\exp(\log(a)/n)$}$ und $ \mbox{$\exp(x)\leq 1/(1-x)$}$ für $ \mbox{$x<1$}$.
  2. Ebenso.
  3. Induktion.
  4. Verwende das Vergleichskriterium.
(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)
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  automatisch erstellt am 7.  6. 2005