Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu: Aufgabe 864: Grenzwert einer Funktion

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	Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu
	Aufgabe 864: Grenzwert einer Funktion

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Zeige, daß $\mbox{$\lim_{x\to 0+}x^x=1$}$ .

Aus $\mbox{$1+x\leq e^x\leq 1/(1-x)$}$ für $\mbox{$x\in(-\infty,1)$}$ folgt mit dem Vergleichskriterium

$\mbox{$\displaystyle \lim_{x\to 0}e^x\;=\;1\;. $}$

Ferner folgt aus $\mbox{$\log y\leq y$}$ für $\mbox{$y\in(0,\infty)$}$ mit $\mbox{$y:=x^{-1/2}$}$

$\mbox{$\displaystyle \log x\;\geq\; -2x^{-1/2}\;. $}$

Also ist für $\mbox{$x\in(0,1)$}$

$\mbox{$\displaystyle -2x^{1/2}\;\leq\; x\log x\; \leq\; 0\; . $}$

Mit dem Vergleichskriterium erhalten wir

$\mbox{$\displaystyle \lim_{x\to 0+} x\log x\;=\;0\;, $}$

und folglich mit der Verkettungsregel

$\mbox{$\displaystyle \lim_{x\to 0+}x^x\;=\;\lim_{x\to 0+}e^{x\log x}\;=\; \lim_{y\to 0}e^y\;=\; 1\; . $}$

(Mit l'Hôpital später kürzer lösbar.)

(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)

automatisch erstellt am 7. 6. 2005