Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu: Aufgabe 865: Existenz einer Nullstelle

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	Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu
	Aufgabe 865: Existenz einer Nullstelle

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Zeige, daß die Gleichung $\mbox{$x = e^{-x}$}$ genau eine reelle Lösung $\mbox{$x\in\mathbb{R}$}$ besitzt. Bestimme diese auf eine Dezimalstelle genau.

Wir zeigen zunächst, daß höchstens eine Lösung existieren kann. In der Tat ist $\mbox{$f(x) := x + (- e^{-x})$}$ als Summe zweier streng monoton wachsender Funktionen selbst streng monoton wachsend, und somit injektiv.

Nun ist $\mbox{$f(0) = -1$}$ und $\mbox{$f(1) = 1 - e^{-1} > 0.5$}$ . Da $\mbox{$f$}$ stetig ist, gibt es nun nach dem Zwischenwertsatz ein $\mbox{$x\in [0,1]$}$ mit $\mbox{$f(x) = 0$}$ .

Genauer, es ist $\mbox{$f(0.5) = -0.1065306597\dots$}$ und $\mbox{$f(0.6) = 0.0511883639\dots$}$ , und daher $\mbox{$x = 0.5\dots$}$ .

(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)

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automatisch erstellt am 7. 6. 2005