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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Hinweis zu

Aufgabe 866: Lipschitzstetigkeit

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Eine Funktion $ \mbox{$f:D\longrightarrow \mathbb{C}$}$ heißt lipschitzstetig auf $ \mbox{$D$}$, falls ein $ \mbox{$L > 0$}$ existiert mit

$ \mbox{$\displaystyle \vert f(x) - f(y)\vert \;\leq\; L\vert x - y\vert $}$
für alle $ \mbox{$x,y\in D$}$.

Ist $ \mbox{$f$}$ reellwertig, so heißt dies, daß für alle $ \mbox{$x\in D$}$ sich der Graph der Funktion in der Nähe von $ \mbox{$P := (x,f(x))$}$ zwischen den durch $ \mbox{$P$}$ verlaufenden Geraden mit Steigung $ \mbox{$\pm L$}$ befindet. Ist $ \mbox{$f$}$ differenzierbar, so übersetzt sich dies in die Bedingung, daß die Ableitung auf $ \mbox{$D$}$ eine beschränkte Funktion ist (was wir hier aber noch nicht verwenden wollen).

Sei nun $ \mbox{$f : [0,\infty) \longrightarrow \mathbb{R}$}$, $ \mbox{$x\mapsto f(x) := \sqrt{x}$}$.

  1. Ist eine lipschitzstetige Funktion auch gleichmäßig stetig?
  2. Ist $ \mbox{$f$}$ lipschitzstetig auf $ \mbox{$[1,\infty)$}$?
  3. Ist $ \mbox{$f$}$ lipschitzstetig auf $ \mbox{$[0,1]$}$?
  4. Ist $ \mbox{$f$}$ gleichmäßig stetig auf $ \mbox{$[0,\infty)$}$?

  1. Setze $ \mbox{$\delta := \varepsilon /L$}$.
  2. Verwende $ \mbox{$L = 1/2$}$.
  3. Betrachte $ \mbox{$x=0$}$.
  4. Nach 1. und 2. ist $ \mbox{$f$}$ gleichmäßig stetig auf $ \mbox{$[1,\infty)$}$. Zeige, daß $ \mbox{$f$}$ auch auf $ \mbox{$[0,1]$}$ gleichmäßig stetig ist, und daß daraus die gleichmäßige Stetigkeit auf $ \mbox{$[0,\infty)$}$ folgt.
(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)
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  automatisch erstellt am 7.  6. 2005