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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 866: Lipschitzstetigkeit

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Eine Funktion $ \mbox{$f:D\longrightarrow \mathbb{C}$}$ heißt lipschitzstetig auf $ \mbox{$D$}$, falls ein $ \mbox{$L > 0$}$ existiert mit

$ \mbox{$\displaystyle \vert f(x) - f(y)\vert \;\leq\; L\vert x - y\vert $}$
für alle $ \mbox{$x,y\in D$}$.

Ist $ \mbox{$f$}$ reellwertig, so heißt dies, daß für alle $ \mbox{$x\in D$}$ sich der Graph der Funktion in der Nähe von $ \mbox{$P := (x,f(x))$}$ zwischen den durch $ \mbox{$P$}$ verlaufenden Geraden mit Steigung $ \mbox{$\pm L$}$ befindet. Ist $ \mbox{$f$}$ differenzierbar, so übersetzt sich dies in die Bedingung, daß die Ableitung auf $ \mbox{$D$}$ eine beschränkte Funktion ist (was wir hier aber noch nicht verwenden wollen).

Sei nun $ \mbox{$f : [0,\infty) \longrightarrow \mathbb{R}$}$, $ \mbox{$x\mapsto f(x) := \sqrt{x}$}$.

  1. Ist eine lipschitzstetige Funktion auch gleichmäßig stetig?
  2. Ist $ \mbox{$f$}$ lipschitzstetig auf $ \mbox{$[1,\infty)$}$?
  3. Ist $ \mbox{$f$}$ lipschitzstetig auf $ \mbox{$[0,1]$}$?
  4. Ist $ \mbox{$f$}$ gleichmäßig stetig auf $ \mbox{$[0,\infty)$}$?

  1. Wir zeigen die gleichmäßige Stetigkeit mit der Definition. Sei $ \mbox{$\varepsilon >0$}$ vorgegeben. Wähle $ \mbox{$\delta:=\varepsilon /L$}$. Dann gilt für $ \mbox{$x,y\in D$}$ mit $ \mbox{$\vert x-y\vert<\delta$}$
    $ \mbox{$\displaystyle \vert f(x)-f(y)\vert\;\leq\; L\vert x-y\vert\; <\; L\delta\; =\; \varepsilon \; . $}$

  2. Wähle $ \mbox{$L:=1/2$}$. Dann gilt für $ \mbox{$x,y\in[1,\infty)$}$
    $ \mbox{$\displaystyle \vert f(x)-f(y)\vert\;=\; \vert\sqrt{x}-\sqrt{y}\vert\;=... ...t{y}}\right\vert \;\leq\;\frac{\vert x-y\vert}{1+1}\;=\; L\vert x-y\vert\; . $}$

  3. Wir nehmen an, $ \mbox{$f$}$ wäre lipschitzstetig auf $ \mbox{$[0,1]$}$, d.h. es gäbe ein $ \mbox{$L>0$}$ so, daß $ \mbox{$\vert f(x)-f(y)\vert\leq L\vert x-y\vert$}$ gilt für alle $ \mbox{$x,y\in[0,1]$}$. Wir können $ \mbox{$L\geq 1$}$ voraussetzen. Wählt man nun jedoch speziell $ \mbox{$x:=0$}$ und $ \mbox{$y$}$ mit $ \mbox{$0<y<1/L^2$}$, so ergibt sich
    $ \mbox{$\displaystyle \vert f(x)-f(y)\vert\;=\; \sqrt{y}\;=\; \frac{y}{\sqrt{y}}\;>\; \frac{y}{1/L}\; =\; L\vert x-y\vert\;. $}$
    Dies ist ein Widerspruch, d.h. $ \mbox{$f$}$ ist nicht lipschitzstetig auf $ \mbox{$[0,1]$}$.

  4. Nach 1. und 2. ist $ \mbox{$f$}$ gleichmäßig stetig auf $ \mbox{$[1,\infty)$}$. Ferner ist $ \mbox{$f$}$ stetig auf $ \mbox{$[0,1]$}$, und $ \mbox{$[0,1]$}$ ist kompakt. Daher ist $ \mbox{$f$}$ auch gleichmäßig stetig auf $ \mbox{$[0,1]$}$. Wir zeigen nun damit die gleichmäßige Stetigkeit von $ \mbox{$f$}$ auf der Menge $ \mbox{$[0,\infty)$}$. Es sei $ \mbox{$\varepsilon >0$}$ vorgegeben. Dann gibt es also $ \mbox{$\delta_1,\delta_2>0$}$ so, daß
    $ \mbox{$\displaystyle \vert f(x_1)-f(x_2)\vert\;<\;\varepsilon /2,\;\;\; \vert f(x_3)-f(x_4)\vert\;<\;\varepsilon /2 $}$
    für alle $ \mbox{$x_1,x_2\in[0,1]$}$ mit $ \mbox{$\vert x_1-x_2\vert<\delta_1$}$ und alle $ \mbox{$x_3,x_4\in[1,\infty)$}$ mit $ \mbox{$\vert x_3-x_4\vert<\delta_2$}$. Wir setzen $ \mbox{$\delta:=\min\{\delta_1,\delta_2\}>0$}$. Seien nun $ \mbox{$x,y\in[0,\infty)$}$ mit $ \mbox{$\vert x-y\vert<\delta$}$, und ohne Einschränkung sei $ \mbox{$x\leq y$}$. In den Fällen $ \mbox{$x,y\in[0,1]$}$ oder $ \mbox{$x,y\in[1,\infty)$}$ folgt dann sofort $ \mbox{$\vert f(x)-f(y)\vert<\varepsilon $}$. Im Fall $ \mbox{$x\in[0,1],y\in[1,\infty)$}$ gilt auch $ \mbox{$\vert x-1\vert<\delta_1$}$ und $ \mbox{$\vert 1-y\vert<\delta_2$}$, und somit wird
    $ \mbox{$\displaystyle \vert f(x)-f(y)\vert\;\leq\;\vert f(x)-f(1)\vert+\vert f(1)-f(y)\vert\;<\; \varepsilon /2+\varepsilon /2\; =\; \varepsilon \; . $}$
    Damit ist die gleichmäßige Stetigkeit von $ \mbox{$f$}$ auf $ \mbox{$[0,\infty)$}$ gezeigt.

    Vorsicht, das entsprechende Argument versagt, wenn man statt zweier vielmehr unendlich viele Intervalle zusammensetzen möchte.

(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)
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  automatisch erstellt am 7.  6. 2005