Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Hinweis zu: Aufgabe 870: Rechenregeln mit dem komplexen Sinus und Cosinus

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	Aufgabe 870: Rechenregeln mit dem komplexen Sinus und Cosinus

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Berechne unter Zuhilfenahme der Exponentialfunktion folgende Ausdrücke. Hierbei sei $\mbox{$z\in\mathbb{C}$}$ beliebig.

(1): $\mbox{$(\sin z)^2 + (\cos z)^2$}$ . Ergebnis konstant in $\mbox{$z$}$ .
(2): $\mbox{$(\cosh z)^2 - (\sinh z)^2$}$ . Ergebnis konstant in $\mbox{$z$}$ .
(3): $\mbox{$(\cos z)^n$}$ , $\mbox{$n\geq 1$}$ . Ergebnis als Linearkombination von Termen der Form $\mbox{$\cos(mz)$}$ , $\mbox{$m\geq 1$}$ , und einem konstanten Term.
(4): $\mbox{$\cos(6z)$}$ . Ergebnis als Polynom in $\mbox{$\cos z$}$ .
(5): $\mbox{$\cos(nz)$}$ , $\mbox{$n\geq 1$}$ . Ergebnis als Polynom in $\mbox{$\cos z$}$ .

(1): Verwende die aus der Eulerschen Identität resultierenden Formeln.
(2): Wie (1), nur einfacher.
(3): Verwende $\mbox{$\cos z = (e^{\mathrm{i}z} + e^{-\mathrm{i}z})/2$}$ und die binomische Formel.
(4,5): Es ist $\mbox{$\cos(nz) = (\exp(\mathrm{i}nz) + \exp(-\mathrm{i}nz))/2 = ((\cos z + \mathrm{i}\sin z)^n + (\cos z - \mathrm{i}\sin z)^n)/2$}$ .

(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)

automatisch erstellt am 7. 6. 2005