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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 870: Rechenregeln mit dem komplexen Sinus und Cosinus

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Berechne unter Zuhilfenahme der Exponentialfunktion folgende Ausdrücke. Hierbei sei $ \mbox{$z\in\mathbb{C}$}$ beliebig.

(1)
$ \mbox{$(\sin z)^2 + (\cos z)^2$}$. Ergebnis konstant in $ \mbox{$z$}$.
(2)
$ \mbox{$(\cosh z)^2 - (\sinh z)^2$}$. Ergebnis konstant in $ \mbox{$z$}$.
(3)
$ \mbox{$(\cos z)^n$}$, $ \mbox{$n\geq 1$}$. Ergebnis als Linearkombination von Termen der Form $ \mbox{$\cos(mz)$}$, $ \mbox{$m\geq 1$}$, und einem konstanten Term.
(4)
$ \mbox{$\cos(6z)$}$. Ergebnis als Polynom in $ \mbox{$\cos z$}$.
(5)
$ \mbox{$\cos(nz)$}$, $ \mbox{$n\geq 1$}$. Ergebnis als Polynom in $ \mbox{$\cos z$}$.

(1)
Es wird
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} (\sin z)^2 + (\cos z)^2 & = & \left((... ... + e^{-2\mathrm{i}z})\right)/4 \vspace*{1mm}\\ & = & 1\; . \\ \end{array}$}$

(2)
Es wird
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} (\cosh z)^2 - (\sinh z)^2 & = & \left... ...(e^{2z} - 2 + e^{-2z})\right)/4\vspace*{1mm}\\ & = & 1\; . \\ \end{array}$}$
(3)
Es wird
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} (\cos z)^n & = & 2^{-n}(e^{\mathrm{i}... ...= 0}^n {n\choose n-k} e^{(n-2k)\mathrm{i}z}\; . \vspace*{1mm}\\ \end{array}$}$
Unter Beachtung von $ \mbox{${n\choose k} = {n\choose n-k}$}$ erhalten wir nach Summation der letzten beiden Ausdrücke
$ \mbox{$\displaystyle 2(\cos z)^n \; = \; 2^{-n} \sum_{k = 0}^n {n\choose k} (e^{(2k-n)\mathrm{i}z} + e^{(n-2k)\mathrm{i}z})\; , $}$
und somit
$ \mbox{$\displaystyle (\cos z)^n \; = \; 2^{-n} \sum_{k = 0}^n {n\choose k} \cos((2k-n)z)\; . $}$
Irredundant geschrieben wird für $ \mbox{$n$}$ gerade also
$ \mbox{$\displaystyle (\cos z)^n \; = \; 2^{-n}{n\choose n/2} + 2^{1-n}\sum_{k = 1}^{n/2} {n\choose n/2 - k} \cos(2kz)\; , $}$
und für $ \mbox{$n$}$ ungerade
$ \mbox{$\displaystyle (\cos z)^n \; = \; 2^{1-n} \sum_{k = 0}^{(n-1)/2} {n\choose (n-1)/2 - k} \cos((2k+1)z)\; . $}$

(4,5)
Sei $ \mbox{$m := n/2$}$ für $ \mbox{$n$}$ gerade und $ \mbox{$m := (n-1)/2$}$ für $ \mbox{$n$}$ ungerade. Es wird
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \cos(nz) & = & ((\cos z + \mathrm{i}\... ...sum_{l=\mu}^m {n\choose 2l} {l\choose \mu}\; . \vspace*{2mm} \\ \end{array}$}$
Insbesondere wird
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \cos(6z) & = & \sum_{\mu = 0}^3 (-1)^... ...\ & = & 32(\cos z)^6 - 48(\cos z)^4 + 18(\cos z)^2 - 1\; . \\ \end{array}$}$
Man kann hier auch auf direkten Wegen unter Verwendung des Additionstheorems zum Ziel gelangen.

(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)
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  automatisch erstellt am 7.  6. 2005