Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Hinweis zu: Aufgabe 871: Reihendarstellung rationaler Funktionen

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	Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Hinweis zu
	Aufgabe 871: Reihendarstellung rationaler Funktionen

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Man überprüfe die Identität

$\mbox{$\displaystyle (1-z)^{-k} \; = \; \sum_{n = 0}^\infty {n + k - 1 \choose n} z^n $}$

für $\mbox{$z\in B_1(0)\subseteq \mathbb{C}$}$ und $\mbox{$k\in\mathbb{N}$}$ .

(1): Man verwende hierzu die Binomialreihe.
(2): Man verwende hierzu Induktion über $\mbox{$k$}$ , und das Cauchyprodukt für den Induktionsschritt.
(3): Man berechne $\mbox{$\sum_{n = 1}^\infty n^k z^n$}$ für $\mbox{$z\in B_1(0)$}$ und $\mbox{$k\in\{1,2,3\}$}$ . Ergebnis jeweils als rationale Funktion $\mbox{$f_k(z)$}$ in $\mbox{$z$}$ .
(4*): $\mbox{$f_k(z) = (-1)^{k+1} f_k(1/z)$}$ für alle $\mbox{$k\in\mathbb{N}$}$ .

(1): Es ist $\mbox{$(-1)^n {-k \choose n} = {n+k-1 \choose n}$}$ .
(2): Es ist $\mbox{$\sum_{n = 0}^\mu {n+k-2\choose n} = {\mu+k-1 \choose \mu}$}$ .
(3): Man ersetze $\mbox{$n^k$}$ durch $\mbox{${n+k\choose n}$}$ und korrigiere den begangenen Fehler wieder.
(4*): Leite $\mbox{$f_k(z)$}$ ab.

(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)

automatisch erstellt am 7. 6. 2005