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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Hinweis zu

Aufgabe 873: Legendrepolynome

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Sei $ \mbox{$P_n(x) := 2^{-n} (n!)^{-1} \left((x^2 - 1)^n\right)^{(n)}$}$ das $ \mbox{$n$}$-te Legendre-Polynom für $ \mbox{$n\geq 0$}$.

  1. Bestimme $ \mbox{$P_0(x)$}$, $ \mbox{$P_1(x)$}$, $ \mbox{$P_2(x)$}$.
  2. Bestimme $ \mbox{$P_n(0)$}$.
  3. Bestätige $ \mbox{$(xf(x))^{(n)} = xf^{(n)}(x)+nf^{(n-1)}(x)$}$ für eine $ \mbox{$n$}$-fach differenzierbare Funktion $ \mbox{$f$}$.
  4. Bestätige $ \mbox{$P_{n+1}'(x) = xP_n'(x) + (n+1)P_n(x)$}$.

Mit (2) und (4) lassen sich die Legendrepolynome rekursiv berechnen.

  1. Berechne direkt aus der Definition.
  2. Wende die binomische Formel an auf $ \mbox{$(x^2-1)^n$}$.
  3. Induktion und Produktregel.
  4. Bestätige $ \mbox{$P_{n+1}(x)=2^{-n}(n!)^{-1}\left(x(x^2-1)^n\right)^{(n)}$}$, verwende (3) und leite ab.

(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)
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  automatisch erstellt am 7.  6. 2005