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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Hinweis zu

Aufgabe 874: Einige Ungleichungen

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Bestätige folgende Ungleichungen.

  1. $ \mbox{$1-1/x\leq\log x\leq x-1$}$ für $ \mbox{$x\geq 1$}$.
  2. $ \mbox{$(1+x)^\alpha\geq 1+\alpha x$}$ für $ \mbox{$x>-1$}$ und $ \mbox{$\alpha\in (-\infty,0]\cup [1,\infty)$}$.
  3. $ \mbox{$(1+x)^\alpha\leq 1+\alpha x$}$ für $ \mbox{$x>-1$}$ und $ \mbox{$\alpha\in[0,1]$}$.

  1. Wende das Monotoniekriterium auf die Funktionen $ \mbox{$\log x-(1-1/x)$}$ und $ \mbox{$(x-1)-\log x$}$ an.
  2. Wende das Monotoniekriterium auf die Funktion $ \mbox{$(1+x)^\alpha-(1+\alpha x)$}$ an.
  3. Wie (2).
(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)
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  automatisch erstellt am 7.  6. 2005