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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 874: Einige Ungleichungen

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Bestätige folgende Ungleichungen.

  1. $ \mbox{$1-1/x\leq\log x\leq x-1$}$ für $ \mbox{$x\geq 1$}$.
  2. $ \mbox{$(1+x)^\alpha\geq 1+\alpha x$}$ für $ \mbox{$x>-1$}$ und $ \mbox{$\alpha\in (-\infty,0]\cup [1,\infty)$}$.
  3. $ \mbox{$(1+x)^\alpha\leq 1+\alpha x$}$ für $ \mbox{$x>-1$}$ und $ \mbox{$\alpha\in[0,1]$}$.

1.
Sei $ \mbox{$f(x):=\log x-(1-1/x)$}$ und $ \mbox{$g(x):=(x-1)-\log x$}$. Dann sind $ \mbox{$f,g$}$ stetig auf $ \mbox{$[1,\infty)$}$ und differenzierbar auf $ \mbox{$(1,\infty)$}$, und es ergibt sich dort
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcccccl} f'(x) &=& 1/x-1/x^2 &=& (x-1)/x^2 &\geq& 0\\ g'(x) &=& 1-1/x &=& (x-1)/x &\geq& 0 \;. \end{array}$}$
Wegen $ \mbox{$f(1)=g(1)=0$}$ folgt mit dem Monotoniekriterium $ \mbox{$f(x)\geq 0$}$ und $ \mbox{$g(x)\geq 0$}$ für $ \mbox{$x\geq 1$}$.

2., 3.
Sei $ \mbox{$f(x):=(1+x)^\alpha-(1+\alpha x)$}$. Es wird
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} f'(x) &=& \alpha(1+x)^{\alpha-1}-\alp... ...}$} und {$\mbox{$\alpha\in[0,1]$}$}}}\\ \end{array}\right. \;. \end{array}$}$
Falls $ \mbox{$\alpha\in (-\infty,0]\cup [1,\infty)$}$, ist $ \mbox{$f$}$ nach dem Monotoniekriterium monoton fallend auf $ \mbox{$(-1,0]$}$ und monoton wachsend auf $ \mbox{$[0,\infty)$}$. Da $ \mbox{$f(0)=0$}$, folgt $ \mbox{$f(x)\geq 0$}$ für $ \mbox{$x>-1$}$.

Falls $ \mbox{$\alpha\in [0,1]$}$, ist $ \mbox{$f$}$ nach dem Monotoniekriterium monoton wachsend auf $ \mbox{$(-1,0]$}$ und monoton fallend auf $ \mbox{$[0,\infty)$}$. Da $ \mbox{$f(0)=0$}$, folgt $ \mbox{$f(x)\leq 0$}$ für $ \mbox{$x>-1$}$.

(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)
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  automatisch erstellt am 7.  6. 2005